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Sucesiones, Series y Fourier
Convergencia — Taylor — Series de Fourier — Transformada
📖 Teoría
Sucesión aritmética
Una sucesión aritmética es aquella en que la diferencia entre términos consecutivos es constante (razón o diferencia común $d$). Es la sucesión "de paso constante".
Término general $a_n$
$a_n = a_1 + (n-1)d$
Crece linealmente con $n$
Suma parcial $S_n$
$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
Media de extremos — nº términos
Límite
Si $d \neq 0$: $\lim a_n = \pm\infty$
Si $d = 0$: sucesión constante
Ejemplo: $a_1=2,\ d=3$ → $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$
$a_{10} = 2 + 9\cdot3 = 29$ $S_{10} = \frac{10}{2}(2+29) = 155$
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Resultado paso a paso
Primeros términos:
📖 Teoría
Sucesión geométrica
En una sucesión geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón $r$. Modela crecimientos/decrecimimientos exponenciales.
$|r| > 1$ → diverge
$a_n \to \pm\infty$
la serie no converge
$r = 1$ → constante
$a_n = a_1$ para todo $n$
$S_n = n \cdot a_1$
$|r| < 1$ → converge
$a_n \to 0$
$S_\infty = \dfrac{a_1}{1-r}$
Ejemplo con $a_1=1, r=1/2$:
$S_\infty = \dfrac{1}{1-1/2} = 2$ (paradoja de Zen�n)
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 2$
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Primeros términos:
📖 Teoría
Series numéricas — Convergencia y Divergencia
Una serie es la suma de todos los términos de una sucesión. Estudiar si converge (da valor finito) o diverge es fundamental en análisis y en ingeniería (señales, EDPs, etc.).
Series clásicas y sus valores
Serie geométrica ($|r|<1$):
$$\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \dfrac{1}{1-r}$$Ej: $\sum r^n$ con $r=\frac{1}{2}$ → $S=2$
Serie armónica (DIVERGE):
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty$$Aunque $a_n\to 0$, la serie diverge
Serie $p$ (converge si $p>1$):
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = \begin{cases} <\infty & p>1 \\ \infty & p\leq1 \end{cases}$$Función zeta de Riemann: $\zeta(2)=\pi^2/6$
Serie alternante de Leibniz:
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots = \frac{\pi}{4}$$Converge por el criterio alternante
Serie de Euler:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449$$Resultado de Euler (1734), $\zeta(2)$
Exponencial:
$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+\cdots$$Converge para todo $x\in\mathbb{R}$
Criterios de convergencia — resumen
| Criterio | Condición | Conclusión |
|---|---|---|
| Término general | Si $a_n \not\to 0$ | Diverge (necesaria) |
| Cociente (D'Alembert) | $L = \lim\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ | $L<1$: conv. $L>1$: div. $L=1$: indeter. |
| Raíz (Cauchy) | $L = \lim\sqrt[n]{|a_n|}$ | $L<1$: conv. $L>1$: div. $L=1$: indeter. |
| Comparación | $0 \leq a_n \leq b_n$, $\sum b_n < \infty$ | $\sum a_n$ converge |
| Comparación límite | $\lim a_n/b_n = L \in (0,\infty)$ | Ambas conv. o ambas div. |
| Integral (Cauchy) | $a_n = f(n)$, $f$ decr. positiva | $\sum a_n$ y $\int_1^\infty f\,dx$ tienen el mismo comportamiento |
| Alternante (Leibniz) | $|a_n|$ decrec., $a_n\to 0$, $\sum(-1)^n a_n$ | Converge condicionalmente |
| Conv. absoluta | $\sum|a_n| < \infty$ | $\sum a_n$ converge absolutamente |
Convergencia absoluta
$\sum |a_n| < \infty$ → $\sum a_n$ converge absolutamente
Más fuerte: el orden de los términos no importa (teorema de reordenación de Riemann)
Convergencia condicional
$\sum a_n$ converge pero $\sum |a_n|$ diverge
Ejemplo: $\sum (-1)^n/n$ — series alternantes
Reordenando los términos se puede cambiar la suma (peligroso!)
Criterio de convergencia
Selecciona la serie predefinida o introduce parámetros manualmente para aplicar criterios de convergencia.
📖 Teoría
Series de Potencias — Taylor y Maclaurin
Una serie de potencias representa una función como suma infinita de potencias de $(x-a)$. La serie de Taylor en torno a $a$ usa las derivadas sucesivas de $f$ en ese punto.
Si $a = 0$: serie de Maclaurin
Series de Maclaurin más importantes
$e^x$ — converge en $\mathbb{R}$:
$$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}+\cdots$$$\sin x$ — converge en $\mathbb{R}$:
$$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots$$$\cos x$ — converge en $\mathbb{R}$:
$$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots$$$\ln(1+x)$ — converge en $(-1, 1]$:
$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$$$(1+x)^\alpha$ — serie binomial:
$$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots$$$\arctan x$ — converge en $[-1,1]$:
$$\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots$$Radio de convergencia $R$
La serie de potencias $\sum c_n(x-a)^n$ converge absolutamente en $|x-a|
También: si $\lim|c_{n+1}/c_n| = L$, entonces $R = 1/L$
Error del polinomio de Taylor de grado $N$ (Lagrange):
$$|R_N(x)| = \left|\frac{f^{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!}(x-a)^{N+1}\right| \leq \frac{M}{(N+1)!}|x-a|^{N+1}$$donde $M = \max|f^{(N+1)}|$ en $[a,x]$ y $\xi$ es un punto intermedio
✨ Fórmula de Euler — consecuencia de las series:
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \qquad \Rightarrow \qquad e^{i\pi} + 1 = 0$$Una de las ecuaciones más bellas de la matemática, uniendo $e, i, \pi, 1$ y $0$
Aproximación polinómica
Términos del polinomio de Taylor:
Valor real $f(x)$
Aprox. Taylor grado
Error absoluto
📖 Teoría
Series de Fourier — Descomposición armónica
La serie de Fourier permite representar cualquier función periódica como suma de senos y cosenos (armónicos). Desarrollada por Jean-Baptiste Fourier (1822), es fundamental en procesamiento de señales, acústica, electrónica y física matemática.
Serie de Fourier de $f(x)$ con periodo $2L$:
$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right]$$Coeficientes de Fourier:
$$a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\,dx \qquad a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx \qquad b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$$Forma compleja (exponencial):
$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\, e^{in\pi x/L} \qquad c_n = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(x)\,e^{-in\pi x/L}\,dx$$Relación con coeficientes reales: $c_n = \frac{a_n - ib_n}{2}$, $c_{-n} = \overline{c_n}$
Series de Fourier de funciones típicas
Onda cuadrada (periodo $2\pi$):
$$f(x) = \text{sgn}(\sin x) \quad\Rightarrow\quad \frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5,\ldots}\frac{\sin(nx)}{n}$$Solo armónicos impares, decaimiento $1/n$
Onda triangular (periodo $2\pi$):
$$\frac{8}{\pi^2}\sum_{n=1,3,5,\ldots}\frac{(-1)^{(n-1)/2}\sin(nx)}{n^2}$$Solo impares, decaimiento $1/n^2$ (más suave)
Diente de sierra ($-\pi < x < \pi$):
$$f(x) = \frac{x}{\pi} \quad\Rightarrow\quad \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\sin(nx)}{n}$$Todos los armónicos, decaimiento $1/n$
Valor absoluto $|x|$ ($-\pi < x < \pi$):
$$|x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5,\ldots}\frac{\cos(nx)}{n^2}$$Solo cosenos (función par), decaimiento $1/n^2$
⚠ Fenómeno de Gibbs
En las discontinuidades de $f$, la serie de Fourier produce un sobreoscilamiento de aproximadamente el 9% del salto, independientemente de cuántos armónicos se usen. No desaparece al aumentar $N$, solo se estrecha.
Teorema de Dirichlet
Si $f$ es acotada y periódica con un número finito de máximos, mínimos y discontinuidades de salto finito en cada periodo, entonces su serie de Fourier converge:
• A $f(x)$ en los puntos de continuidad
• A $\dfrac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ en las discontinuidades
Identidad de Parseval (energía en frecuencias)
$$\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}|f(x)|^2\,dx = \frac{|a_0|^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left(|a_n|^2+|b_n|^2\right)$$La energía total se distribuye entre armónicos. Fundamental en teoría de señales y comunicaciones.
Aproximación con $N$ armónicos
Espectro de amplitudes $|c_n|$:
| $n$ | $a_n$ | $b_n$ | Amplitud $\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ |
|---|---|---|---|
📖 Teoría
Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier extiende las series de Fourier a funciones no periódicas. Transforma una función del dominio temporal $f(t)$ a su representación en el dominio frecuencial $\hat{f}(\omega)$, descomponiendo la señal en sus frecuencias.
Definición (convenio físico/ingeniería):
$$\hat{f}(\omega) = \mathcal{F}\{f\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt$$Transformada inversa:
$$f(t) = \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}\}(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega$$Propiedades fundamentales
| Propiedad | En tiempo $f(t)$ | En frecuencia $\hat{f}(\omega)$ |
|---|---|---|
| Linealidad | $\alpha f + \beta g$ | $\alpha\hat{f} + \beta\hat{g}$ |
| Derivada | $f'(t)$ | $i\omega\,\hat{f}(\omega)$ |
| Desplazamiento temporal | $f(t-t_0)$ | $e^{-i\omega t_0}\hat{f}(\omega)$ |
| Modulación | $e^{i\omega_0 t}f(t)$ | $\hat{f}(\omega - \omega_0)$ |
| Escalado | $f(at)$ | $\frac{1}{|a|}\hat{f}\!\left(\frac{\omega}{a}\right)$ |
| Convolución | $(f * g)(t)$ | $\hat{f}(\omega)\cdot\hat{g}(\omega)$ |
| Producto | $f(t)\cdot g(t)$ | $\frac{1}{2\pi}(\hat{f}*\hat{g})(\omega)$ |
| Parseval | $\int|f|^2\,dt$ | $\frac{1}{2\pi}\int|\hat{f}|^2\,d\omega$ |
Pares de transformadas importantes
Pulso rectangular (función porta):
$$\Pi\!\left(\frac{t}{\tau}\right) \longleftrightarrow \tau\,\text{sinc}\!\left(\frac{\omega\tau}{2\pi}\right)$$Base del muestreo y la modulación
Gaussiana:
$$e^{-\pi t^2} \longleftrightarrow e^{-\pi\omega^2/(4\pi^2)}$$La gaussiana se transforma en gaussiana (autofunción)
Exponencial decreciente:
$$e^{-at}u(t) \longleftrightarrow \frac{1}{a+i\omega} \quad (a>0)$$Delta de Dirac:
$$\delta(t) \longleftrightarrow 1 \qquad 1 \longleftrightarrow 2\pi\delta(\omega)$$Un impulso tiene espectro plano (blanco)
Coseno y seno:
$$\cos(\omega_0 t) \longleftrightarrow \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$$ $$\sin(\omega_0 t) \longleftrightarrow \frac{\pi}{i}[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]$$Tren de deltas (Sha de Dirac):
$$\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t-nT) \longleftrightarrow \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^\infty \delta\!\left(\omega-\frac{2\pi k}{T}\right)$$Base del muestreo — teorema de Nyquist
Transformada Discreta de Fourier (DFT) y FFT
En la práctica se trabaja con señales muestreadas. La DFT opera sobre $N$ muestras $x[n]$:
$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,e^{-i2\pi kn/N} \qquad k=0,1,\ldots,N-1$$La FFT (Fast Fourier Transform, Cooley-Tukey 1965) calcula la DFT en $\mathcal{O}(N\log N)$ en lugar de $\mathcal{O}(N^2)$, haciendo viable el procesamiento de señales moderno.
Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon
Para recuperar $f(t)$ sin aliasing, la frecuencia de muestreo $f_s$ debe ser:
$f_s \geq 2f_{\max}$ (frecuencia de Nyquist)
Aplicaciones
• Compresión de audio (MP3, AAC)
• Compresión de imagen (JPEG via DCT)
• Análisis espectral, radar, resonancia magnética
Relación entre series y transformada
Si $f$ es periódica con periodo $T$, su transformada de Fourier es un tren de deltas en las frecuencias $n/T$:
$$\mathcal{F}\{f\}(\omega) = 2\pi \sum_{n=-\infty}^\infty c_n\,\delta(\omega - 2\pi n/T)$$Los coeficientes $c_n$ de la serie son las "alturas" de las deltas en el espectro.
📖 Sucesiones notables
Sucesiones y límites especiales
Límites de sucesiones importantes
| Sucesión | Límite | Notas |
|---|---|---|
| $(1+1/n)^n$ | $e \approx 2.71828$ | Definición de $e$ |
| $n^{1/n}$ | $1$ | Crece más lento que $n$ |
| $n!/n^n$ | $0$ | La exp. crece más rápido que el factorial |
| $r^n\ (|r|<1)$ | $0$ | Decaimiento geométrico |
| $\ln n / n$ | $0$ | $n$ domina sobre $\ln n$ |
| $n^k/a^n\ (a>1)$ | $0$ | Exp. domina sobre polinomios |
| $\sin(n)/n$ | $0$ | Acotada por $1/n$ |
Sucesión de Fibonacci
Definida recursivamente: $F_1=1,\ F_2=1,\ F_n = F_{n-1}+F_{n-2}$
$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots$
Fórmula explícita (Binet):
$$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} \qquad \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$$$\phi$ es la razón �urea
Propiedad límite:
$$\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n} = \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$El cociente de términos consecutivos converge a la razón �urea
Constante de Euler-Mascheroni $\gamma$
$$\gamma = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} - \ln n\right) \approx 0.5772$$Mide la diferencia entre la serie armónica y el logaritmo
Aproximación de Stirling
$$n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \qquad n\to\infty$$Muy útil en probabilidad y combinatoria para $n$ grande
Sucesión de Cauchy
Una sucesión $\{a_n\}$ es de Cauchy si:
$$\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ n,m>N \Rightarrow |a_n-a_m|<\varepsilon$$En $\mathbb{R}$: Cauchy $\Leftrightarrow$ convergente (completitud)
Criterio de Stolz-Ces�ro
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$$Análogo al teorema de L'Hôpital para sucesiones (forma $\infty/\infty$)
Calculadora Fibonacci / �urea
Términos $F_1$ a $F_N$:
Razón $F_{N}/F_{N-1}$:
Razón �urea $\phi \approx 1.6180339...$
$F_N$ por fórmula de Binet:
