Ciencia, ingeniería y matemáticas
para aprender tocando.

Posición y trayectoria

El vector posición $\vec{r}(t)$ apunta desde el origen al punto material en cada instante:

$\vec{r}(t) = x(t)\,\hat{i} + y(t)\,\hat{j} + z(t)\,\hat{k}$

La trayectoria es la curva geométrica que resulta de eliminar $t$ entre $x(t)$ e $y(t)$. Describe la forma del camino pero no dice nada sobre la velocidad ni cuándo se recorre cada tramo.

El desplazamiento $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ es el vector que va del punto inicial al final, independientemente del camino seguido. Si das una vuelta completa, el desplazamiento es cero aunque hayas recorrido toda la circunferencia.

El espacio recorrido $s$ es la longitud real del arco de trayectoria: siempre $s \geq |\Delta\vec{r}|$, con igualdad solo en movimiento rectilíneo sin cambio de sentido.

Velocidad

La velocidad media indica el desplazamiento por unidad de tiempo en un intervalo finito. Es un vector con la misma dirección que $\Delta\vec{r}$:

$\bar{\vec{v}} = \dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$

La velocidad instantánea se obtiene tomando el límite cuando $\Delta t \to 0$, es decir, derivando la posición respecto al tiempo:

$\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}}{dt} = \dot{x}\,\hat{i} + \dot{y}\,\hat{j}$

Geométricamente, $\vec{v}$ es siempre tangente a la trayectoria en cada punto. Su módulo $v = |\vec{v}| = ds/dt$ es la rapidez (scalar), que mide metros por segundo recorridos.

Ejemplo intuitivo: el velocímetro del coche mide la rapidez; no distingue si vas hacia el norte o el sur.

Aceleración

La aceleración mide cómo cambia el vector velocidad con el tiempo. Es importante entender que la aceleración no implica necesariamente "ir más rápido": un coche que gira a velocidad constante también acelera, porque cambia la dirección de $\vec{v}$.

$\vec{a}(t) = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}$

La aceleración puede:

• Cambiar el módulo de $\vec{v}$ (acelerar o frenar) — componente tangencial
• Cambiar la dirección de $\vec{v}$ (curvar la trayectoria) — componente normal
• Ambas cosas simultáneamente — caso general

Ejemplo: en una curva de autopista a velocidad constante, $|\vec{v}|$ no varía pero $\vec{a} \neq 0$ porque la dirección sí cambia.

Composición vectorial

Como $\hat{t}$ y $\hat{n}$ son perpendiculares, la aceleración total es:

$\vec{a} = a_t\,\hat{t} + a_n\,\hat{n}$

$|\vec{a}| = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$

El ángulo que forma $\vec{a}$ con la tangente es $\phi = \arctan(a_n / a_t)$. Si $\phi = 90°$ el móvil no acelera ni frena, solo gira (MCU puro). Si $\phi = 0°$ el movimiento es rectilíneo (MRU o MRUA).

En trayectorias rectas $\rho \to \infty$, así que $a_n = 0$ y $\vec{a}$ es puramente tangencial. En curvas, ambas componentes pueden coexistir.

Deducción de la ecuación

Si $a = 0$, integramos respecto al tiempo:

$a = 0 \Rightarrow v(t) = v_0 = cte$

$\Rightarrow x(t) = \int v_0\,dt = x_0 + v_0\,t$

$\boxed{x(t) = x_0 + v\,t}$

Lectura de las gráficas

• $x$-$t$ (posición-tiempo): recta de pendiente $v$. Cuanto más inclinada, más rápido. Si $v < 0$ la recta baja (el cuerpo retrocede).
• $v$-$t$ (velocidad-tiempo): línea horizontal. El área bajo la recta representa el desplazamiento: $\Delta x = v \cdot \Delta t$ (área de un rectángulo).
• $a$-$t$ (aceleración-tiempo): la línea coincide con el eje de abscisas, aceleración cero en todo momento.

Deducción integrando desde $a = cte$

Partimos de que la aceleración es constante e integramos sucesivamente:

Primera integral: $v(t) = v_0 + a\,t$  → velocidad varía linealmente

Segunda integral: $x(t) = x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}a\,t^2$  → posición varía cuadráticamente

Combinando ambas para eliminar $t$ obtenemos la ecuación sin tiempo:

$\boxed{v^2 = v_0^2 + 2a\,(x - x_0)}$

Esta última ecuación es muy útil cuando no conocemos el tiempo pero sí la distancia recorrida.

Lectura de las gráficas

• $x$-$t$: parábola. Si $a > 0$ se abre hacia arriba (el móvil acelera), si $a < 0$ se abre hacia abajo (frena). El vértice de la parábola es el punto de mínima distancia al origen o de cambio de sentido.
• $v$-$t$: recta de pendiente $a$. El área bajo la recta entre dos instantes es el desplazamiento (área de trapecio). Si la recta cruza el eje, el cuerpo invierte su sentido.
• $a$-$t$: recta horizontal a altura $a$. Constante por definición.

Caída libre — caso particular

Cuando el único movimiento es vertical y solo actúa la gravedad (sin rozamiento del aire), tenemos MRUA con $a = -g = -9{,}81$ m/s² (negativo si tomamos hacia arriba como positivo).

Un dato experimental famoso de Galileo: todos los cuerpos caen con la misma aceleración independientemente de su masa, siempre que el rozamiento sea despreciable.

$y(t) = y_0 + v_{y0}\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^2$

¿Por qué la trayectoria es una parábola?

De $x = v_x\,t$ despejamos $t = x/v_x$ y sustituimos en $y(t)$:

$y = y_0 + \underbrace{x\tan\theta}_{\text{término lineal}} - \underbrace{\dfrac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}}_{\text{término cuadrático}}$

Al aparecer $x^2$, la expresión $y(x)$ es una parábola. La curvatura depende de $g$, $v_0$ y $\theta$.

Fórmulas clave (con $y_0 = 0$ para simplificar)

Tiempo de vuelo: igualamos $y(T)=0$: $T = \dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$

Alcance: $R = v_x\cdot T = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$ → máximo en $\theta=45°$

Altura máxima: cuando $v_y=0$: $h_{max} = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$

Propiedad de simetría: ángulos complementarios como 30° y 60° tienen el mismo alcance pero diferente altura máxima y tiempo de vuelo.

Resultados importantes

Tiempo de vuelo (hasta $y = 0$): $T = \sqrt{2y_0/g}$ — solo depende de la altura, no de la velocidad horizontal.

Alcance: $R = v_0\cdot T = v_0\sqrt{2y_0/g}$ — sí depende de $v_0$.

Velocidad en el impacto: $v_{imp} = \sqrt{v_0^2 + (gT)^2}$ — suma vectorial de componentes.

Ángulo de impacto: $\alpha = \arctan(gT/v_0)$ — el ángulo respecto a la horizontal en que choca.

Curiosidad: si dejas caer una bola y lanzas otra horizontalmente desde la misma altura en el mismo instante, las dos llegan al suelo al mismo tiempo. Esto demuestra la independencia del movimiento horizontal y vertical.

Magnitudes angulares y su relación con las lineales

Trabajar en radianes permite relacionar directamente las magnitudes angulares con las lineales mediante el radio $r$:

Aceleración centrípeta

$a_c = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r$

Siempre apunta hacia el centro. En las componentes intrínsecas: $a_t = 0$ (rapidez constante) y $a_n = a_c$. La fuerza que la produce debe también apuntar al centro; esa fuerza puede ser tensión (honda), gravedad (satélite), normal (tiovivo) o fricción (coche en curva).

Consecuencia: a mayor radio o menor velocidad, menos aceleración centrípeta. Por eso las curvas cerradas (radio pequeño) exigen más fricción al coche.

Ecuaciones de posición en coordenadas cartesianas

Si el centro está en el origen:

$x(t) = r\cos(\theta_0 + \omega t)$

$y(t) = r\sin(\theta_0 + \omega t)$

Derivando obtenemos directamente $\vec{v}$ y $\vec{a}$, y puede comprobarse que $\vec{a} \perp \vec{v}$ y $|\vec{a}| = \omega^2 r$.

Las tres ecuaciones angulares — análogas al MRUA

Sustituyendo $x \to \theta$, $v \to \omega$, $a \to \alpha$ en las ecuaciones del MRUA:

$\omega(t) = \omega_0 + \alpha\,t$

$\theta(t) = \theta_0 + \omega_0\,t + \tfrac{1}{2}\alpha\,t^2$

$\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\,(\theta - \theta_0)$

La tercera ecuación elimina $t$ y es útil cuando se conoce el ángulo girado pero no el tiempo.

Dos componentes de aceleración conviven

A diferencia del MCU, en el MCUA hay dos componentes de aceleración simultáneas:

$|\vec{a}| = r\sqrt{\omega^4 + \alpha^2}$

Al inicio del movimiento ($\omega \approx 0$), domina $a_t$. A alta velocidad, domina $a_n$. El vector $\vec{a}$ rota continuamente respecto al radio.

Relaciones lineales ↔ angulares

Todas las magnitudes lineales de la trayectoria circular se obtienen multiplicando por el radio $r$:

$s = r\,\theta$  (arco recorrido)

$v = r\,\omega$  (rapidez tangencial)

$a_t = r\,\alpha$  (aceleración tangencial)

Por eso un punto en el borde de un disco grande recorre más espacio y tiene más velocidad lineal que uno en el centro, aunque ambos tengan la misma $\omega$.