Laboratorio STEM · RGA

Ciencia, ingeniería y matemáticas para aprender tocando.

Simuladores de física, química, electrónica, matemáticas y tecnología con resultados en tiempo real.

Química Física Electrónica Matemáticas Energías Ondas Probabilidad

20+

Temas

50+

Interactivo 3D

Herramienta destacada

Motor Matemático IA

Integrales, matrices, ecuaciones, Simplex, gráficas y pasos generados con IA. El siguiente nivel después del Lab STEM.

Abrir calculadora → Álgebra · Cálculo · Gráficas · LaTeX

Explorar

Elige un área

Estadística descriptiva

Analiza conjuntos de datos unidimensionales y bidimensionales: frecuencias, medidas de posición y dispersión, histograma, box-plot, covarianza, regresión y correlación.

Datos (valores)

Separa con comas, espacios o saltos de línea. Admite decimales con punto o coma.

Opciones

Agrupar en intervalos Nº de intervalos

Media x̄

Mediana Me

Moda Mo

Rango

Varianza σ²

Desv. σ

Q2 = Me

IQR

Min

Max

Asimetría g₁

Curtosis g₂

Tabla de frecuencias

	Marca xi	fi	Fi	hi	Hi

Histograma / diagrama de barras polígono

Box-plot (Tukey)

Bigotes en Q1 − 1.5·IQR y Q3 + 1.5·IQR. Los puntos fuera son atípicos (outliers).

Percentil Pk (k%)

(el % de los datos es ≤ a ese valor)

Pares (x, y)

Cada par separado por ";" o salto de línea. Dentro del par usa coma o tab entre x e y.

Predicción

Predecir ŷ a partir de x =

ŷ estimado (recta y|x)

Fiabilidad ~ |r| =

N pares

x̄

σx

σy

Covarianza σxy

Correl. r

r² (determ.)

Pend. a (y|x)

Ord. b (y|x)

Recta de regresión y|x

Diagrama de dispersión + recta de regresión recta x|y

Medidas de centralización

Resumen de los datos en un Único valor "central". Cada una capta algo distinto:

Media aritmética

$$\bar{x} \;=\; \dfrac{\sum_{i=1}^{k} f_i\, x_i}{N}$$

Sensible a valores atípicos. Punto de equilibrio físico.

Mediana $\mathrm{Me}$

$$F(\mathrm{Me}) \geq 0{,}5$$

Valor central tras ordenar. Robusta frente a atípicos.

Moda $\mathrm{Mo}$

$$\mathrm{Mo} = \arg\max_i f_i$$

Valor más frecuente. Puede no ser Única.

Relación de Pearson (distribuciones unimodales): $\;\bar{x} - \mathrm{Mo} \approx 3(\bar{x} - \mathrm{Me})$.

Medidas de posición

Dividen la muestra ordenada en partes iguales:

Cuartiles

$Q_1, Q_2, Q_3$ dividen la muestra en 4 partes con $25\%$ de los datos cada una. $Q_2 = \mathrm{Me}$.

Percentil $P_k$

$$\#\{x_i \leq P_k\} = \tfrac{k}{100}\,N$$

Deja por debajo el $k\%$ de las observaciones.

Recorrido intercuartílico

$$\mathrm{IQR} \;=\; Q_3 - Q_1$$

Atípicos (regla de Tukey): valores fuera de $\;[Q_1 - 1{,}5\,\mathrm{IQR},\; Q_3 + 1{,}5\,\mathrm{IQR}]$. Más allá de $\pm 3\,\mathrm{IQR}$ son extremos.

Medidas de dispersión

Cuantifican cuánto se separan los datos del centro:

Varianza $\sigma^{2}$

$$\sigma^{2} \;=\; \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k} f_i\,(x_i - \bar{x})^{2}}{N} \quad\text{(definición)}$$

Fórmula simplificada (König)

$$\sigma^{2} \;=\; \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k} x_i^{\,2}\,f_i}{N} \;-\; \bar{x}^{\,2} \;=\; \overline{x^{2}} - \bar{x}^{\,2}$$

En la práctica esta fórmula es más rápida: basta una columna $x_i^{2}f_i$ en la tabla.

Promedio de las desviaciones al cuadrado. Unidad: las de los datos al cuadrado.

Desviación típica $\sigma$

$$\sigma \;=\; \sqrt{\sigma^{2}} \;=\; \sqrt{\dfrac{\sum f_i(x_i-\bar x)^{2}}{N}} \;=\; \sqrt{\dfrac{\sum x_i^{2}f_i}{N} - \bar{x}^{\,2}}$$

Misma unidad que los datos. Aprox. el $68\%$ de las observaciones cae en $\bar x \pm \sigma$ si la distribución es normal.

Coef. de variación

$$\mathrm{CV} \;=\; \dfrac{\sigma}{|\bar{x}|}$$

Adimensional. $\mathrm{CV} < 0{,}3$ ⇒ poca dispersión relativa.

Recorrido

$$R \;=\; x_{\max} - x_{\min}$$

Sencillo pero muy sensible a atípicos.

Cuasivarianza (muestral, $n-1$): $\;s^2 = \dfrac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n-1}$. Se usa al inferir parámetros poblacionales.

Medidas de forma

Asimetría (Fisher)

$$g_1 \;=\; \dfrac{m_3}{\sigma^{3}}, \quad m_3 = \dfrac{\sum f_i(x_i-\bar x)^3}{N}$$

$g_1 > 0$: cola a la derecha (sesgo positivo).
$g_1 = 0$: simétrica.
$g_1 < 0$: cola a la izquierda.

Curtosis (exceso)

$$g_2 \;=\; \dfrac{m_4}{\sigma^{4}} - 3$$

$g_2 > 0$: leptocúrtica (picuda, colas pesadas).
$g_2 = 0$: mesocúrtica (como la normal).
$g_2 < 0$: platicúrtica (aplastada).

Estadística bidimensional

Estudia la relación entre dos variables $(X,Y)$:

Covarianza

$$\sigma_{xy} \;=\; \dfrac{\sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{N} \;=\; \overline{xy} - \bar x \bar y$$

Mide la variación conjunta. Su signo indica el sentido de la relación.

Coeficiente de correlación

$$r \;=\; \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y} \;\in\; [-1,\,1]$$

Adimensional. Mide la fuerza lineal de la relación.

Recta de regresión $y$ sobre $x$

$$\hat y \;=\; \bar y + \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^{2}}\,(x - \bar x)$$

Para predecir $y$ a partir de $x$. Su pendiente es $b_{y|x}=\sigma_{xy}/\sigma_x^2$.

Recta de regresión $x$ sobre $y$

$$\hat x \;=\; \bar x + \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^{2}}\,(y - \bar y)$$

Para predecir $x$ a partir de $y$. Ambas se cortan en el centroide $(\bar x, \bar y)$.

Coeficiente de determinación

$$R^{2} \;=\; r^{2} \;=\; b_{y|x} \cdot b_{x|y}$$

Proporción de varianza de $Y$ explicada por la regresión sobre $X$ (entre $0$ y $1$).

Interpretación práctica de $r$

$\|r\|$	Correlación	¿Predicciones fiables?
$\|r\| \geq 0{,}8$	Fuerte	Sí
$0{,}5 \leq \|r\| < 0{,}8$	Moderada	Aceptable
$0{,}2 \leq \|r\| < 0{,}5$	Débil	Poco fiables
$\|r\| < 0{,}2$	Casi nula	No

El signo de $r$ coincide con el de la pendiente $b_{y|x}$.
$r = 0$ no implica independencia: puede haber relación no lineal (p. ej. parabólica).
Correlación $\neq$ causalidad: una $r$ alta sólo indica asociación.

Combinatoria

Selecciona las condiciones del problema y obtén automáticamente la fórmula y resultado correctos.

¿El orden importa?

¿Cambia el resultado si cambia el orden de los elementos?

¿Se permite repetición?

¿Un mismo elemento puede aparecer más de una vez en la selección?

n — total de elementos r — elementos a seleccionar

Ver todas las fórmulas

V(n,r)

n!/(n-r)!

VR(n,r)

nʳ

C(n,r)

n!/(r!(n-r)!)

CR(n,r)

C(n+r-1,r)

Teoría · Combinatoria

Principios fundamentales

Regla del producto: si una decisión tiene $a$ posibilidades y otra independiente $b$, hay $\;a\cdot b\;$ resultados conjuntos.
Regla de la suma: si dos sucesos son excluyentes, el total es $\;a + b$.
Factorial: $\displaystyle n! = n\cdot(n-1)\cdots 2\cdot 1, \quad 0! = 1$.

Variaciones sin repetición $V_{n,r}$

Orden importa, sin repetir. Tomar $r$ de $n$:

$$V_{n,r} = \dfrac{n!}{(n-r)!} = n(n-1)\cdots(n-r+1)$$

Ej.: podios (oro/plata/bronce) entre $n$ atletas $\Rightarrow V_{n,3}$.

Variaciones con repetición $VR_{n,r}$

Orden importa, se puede repetir:

$$VR_{n,r} = n^{r}$$

Ej.: matrículas con $r$ posiciones y $n$ símbolos.

Combinaciones sin repetición $C_{n,r}$

Orden no importa, sin repetir:

$$C_{n,r} = \binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

Ej.: comités de $r$ personas elegidas de $n$.

Combinaciones con repetición $CR_{n,r}$

Orden no importa, se puede repetir:

$$CR_{n,r} = \binom{n+r-1}{r}$$

Ej.: repartir $r$ caramelos iguales entre $n$ niños.

Permutaciones

Sin repetición (ordenar todos): $\;P_n = n!$
Con repetición (objetos repetidos por grupos $a, b, c, \ldots$): $\;PR_n^{a,b,c\ldots} = \dfrac{n!}{a!\,b!\,c!\cdots}$
Circulares (rotaciones equivalentes): $\;PC_n = (n-1)!$

Cómo elegir la fórmula

¿Importa el orden? → si sí → Variaciones / Permutaciones; si no → Combinaciones.
¿Se permite repetir elementos? → ramas «con repetición» o «sin repetición».
¿Tomas todos ($r=n$) o sólo algunos ($r<n$)?

Distribuciones de probabilidad

μ (media) σ (desv. típica) a b

Caso a calcular

P(X < a)

P(X > a)

P(X < b)

P(X > b)

P(a < X < b)

P(X < a ∪ X > b)

Colas combinadas

Interpretación paso a paso

1️⃣ Tipificación — pasar a

2️⃣ Cálculo con la tabla

3️⃣ Interpretación

Resultado

≈ de cada 1 000 observaciones

Probabilidad

Regla empírica 68 · 95 · 99.7

Qué porcentaje de datos cae a k desviaciones típicas de la media

≈ 2/3 de los datos. En tu N: [, ]

Solo ~1 de 20 cae fuera. En tu N: [, ]

Solo ~3 de 1000 fuera. En tu N: [, ]

💡 Truco de examen

Si te piden la probabilidad y los valores cuadran con μ±σ, μ±2σ o μ±3σ, puedes responder directamente sin tabla. Usa esta regla para detectar control de calidad 6σ, intervalos de confianza rápidos o identificar outliers (> 3σ).

Selector interactivo · N(0,1)

z =

Propiedades clave de la tabla Z:

• — densidad de

• · (simetría) ·

• ·

• La integral no tiene primitiva elemental — se aproxima numéricamente.

¿Qué es y cómo se calcula?

Se fija y se divide en tramos iguales de anchura
Simpson:
Con , el error es menor que

— filas: parte entera + 1 decimal; columnas: 2º decimal

🔄 Probabilidad inversa: dado P → encontrar z y x

Si conoces la probabilidad acumulada y quieres el valor z (o x) correspondiente.

P = Φ(z) — probabilidad acumulada

z = Φ⁻¹(P)

x = μ + z·σ

Casos habituales:

n (ensayos) p (Éxito) k

μ = np

σ² = npq

P(X = k)

P(X ≤ k)

P(X ≥ k)

k	P(X=k)	P(X≤k)	P(X≥k)	Barra

¿Quieres ver la aproximación a la normal con la corrección de Yates y el teorema de Moivre–Laplace superpuestos? Está justo abajo, en el laboratorio dedicado.

Teoría · Distribuciones Normal y Binomial

Distribución normal $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma)$

Función de densidad:

$$f(x) \;=\; \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\dfrac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right)$$

Simétrica respecto a $\mu$, con dos puntos de inflexión en $\mu \pm \sigma$.
Tipificación: $\;Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$.
Probabilidad acumulada: $\;P(X\leq x) = \Phi\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)$.
Regla 68–95–99,7: $\;P(|X-\mu|\leq k\sigma)$ vale aprox. $0{,}68;\,0{,}95;\,0{,}997$ para $k=1,2,3$.

Distribución binomial $X \sim B(n,p)$

Cuenta Éxitos en $n$ ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad $p$ de Éxito ($q = 1-p$):

$$P(X = k) \;=\; \binom{n}{k}\,p^{k}\,q^{\,n-k}, \quad k = 0,1,\ldots,n$$

Media

$$\mu = n\,p$$

Varianza

$$\sigma^{2} = n\,p\,q$$

Desv. típica

$$\sigma = \sqrt{n p q}$$

Bernoulli: caso $n=1$, $X\in\{0,1\}$, con $\mu = p$, $\sigma^{2}=p\,q$.

Aproximaciones Útiles

Binomial → Normal (Moivre–Laplace) si $\;np \geq 5$ y $\;nq \geq 5$: $\;X \approx \mathcal{N}\!\left(np,\sqrt{npq}\right)$. Aplicar corrección de Yates al pasar de discreto a continuo.
Binomial → Poisson si $\;n$ grande y $\;p$ pequeño con $\lambda = np$ moderado: $\;P(X=k)\approx e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{k}}{k!}$.

Aproximación Binomial → Normal · de Moivre–Laplace

Visualiza simultáneamente la binomial real B(n,p), la normal aproximada N(np, √npq) y la corrección de continuidad de Yates. Compara los resultados y entiende cuándo y por qué funciona.

n (ensayos) p (Éxito) k k₂

μ = np

σ = √(npq)

Caso a calcular

Corrección de Yates ±0.5

Binomial real (todas las barras)

Barras dentro del rango pedido

Curva normal N(μ,σ)

Área normal aproximada

Exacto · Binomial

Aprox. Normal SIN Yates

Error abs:

Aprox. Normal CON Yates

Error abs:

// Tipificación Z = (X − μ) / σ · μ = , σ =

n·p =

Debe cumplir n·p ≥ 5

n·q =

Debe cumplir n·q ≥ 5

Aproximación

Mejor cuanto más cerca de p = 0.5 y mayor n.

Teoría · Teorema de De Moivre–Laplace y corrección de Yates

Teorema de De Moivre–Laplace (1733/1812)

Si X ~ B(n, p) y n → ∞ con p fijo (0 < p < 1), entonces la variable tipificada

Z = (X − np) / √(npq) ⟶ N(0, 1)

converge en distribución a la normal estándar. Es un caso particular del Teorema Central del Límite aplicado a sumas de Bernoulli i.i.d.

¿Cuándo se puede aproximar?

Regla práctica: n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5 (algunos libros piden ≥ 10).
Cuanto más simétrica la binomial (p ≈ 0.5), mejor el ajuste.
Si p es muy pequeño y n grande, mejor Poisson (λ = np).

Corrección de continuidad (Yates, 1934)

La binomial es discreta (sólo toma valores enteros) pero la normal es continua: P(X = k) en la normal es 0. Para corregir esa diferencia, cada barra de la binomial centrada en k se "ensancha" al intervalo [k − 0.5, k + 0.5]:

P(X = k) ≈ Φ((k + 0.5 − μ)/σ) − Φ((k − 0.5 − μ)/σ)

P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0.5 − μ)/σ)

P(X < k) ≈ Φ((k − 0.5 − μ)/σ)

P(X ≥ k) ≈ 1 − Φ((k − 0.5 − μ)/σ)

P(X > k) ≈ 1 − Φ((k + 0.5 − μ)/σ)

P(a ≤ X ≤ b) ≈ Φ((b + 0.5 − μ)/σ) − Φ((a − 0.5 − μ)/σ)

Los 6 casos visualizados (μ = 10, σ ≈ 2.24, k = 11, k₂ = 13)

Barras binomial (no incluidas) Barras incluidas en el suceso Zona Yates ±0.5 Curva normal N(μ,σ)

P(X = 11)

Φ((11.5−μ)/σ) − Φ((10.5−μ)/σ)

P(X ≤ 11)

Φ((11.5−μ)/σ)

P(X < 11)

Φ((10.5−μ)/σ)

P(X ≥ 11)

1 − Φ((10.5−μ)/σ)

P(X > 11)

1 − Φ((11.5−μ)/σ)

P(11 ≤ X ≤ 13)

Φ((13.5−μ)/σ) − Φ((10.5−μ)/σ)

Observa cómo en cada caso la zona rosa de Yates "rellena" exactamente las barras incluidas (naranjas), evitando el error que cometeríamos al integrar la normal sólo desde el entero (sin el ±0.5).

¿Por qué se llama "corrección de Yates"?

Frank Yates la propuso en 1934 al estudiar el test χ² de independencia con frecuencias pequeñas: notó que tratar valores discretos como continuos sobrestimaba la significación. Aquí aplicamos la misma idea: "medio paso" a cada lado del entero para "rellenar" la discontinuidad.

Diagrama de Árbol

Niveles:

Define etiqueta, probabilidad y número de ramas por nivel. P(hoja) = producto de todas las ramas del camino.

Regla: Dentro de una rama → se multiplican ($\times$) · Entre ramas distintas → se suman ($+$)

Escenarios listos:

P(gol J1)

P(gol J2)

Rondas (mejor de):

G1/F1 = J1 marca/falla · G2/F2 = J2 marca/falla. Cada ronda tiene 4 resultados.

Calcular:

Nivel 1

Ramas:

Nivel 2

Ramas:

Nivel 3

Ramas:

Nivel 4

Ramas:

Nivel 5

Ramas:

Haz clic en una hoja del Árbol (o en su fila) para seleccionarla y sumar su probabilidad.

P(suceso seleccionado) = suma de hojas marcadas

Hojas seleccionadas: de P =

	Camino	P(hoja)	P(%)

Suma P(hojas) =

Teoría · Probabilidad condicionada y diagramas de Árbol

Probabilidad condicionada

$$P(B \mid A) \;=\; \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}, \quad P(A) > 0$$

$P(B\mid A)$ = "prob. de $B$ sabiendo que $A$ ha ocurrido". Restringe el espacio muestral a $A$.

Regla del producto (cadena)

$$P(A \cap B) \;=\; P(A)\,P(B \mid A)$$

Dentro de una misma rama del Árbol → se multiplican las probabilidades a lo largo del camino. Entre ramas distintas (caminos diferentes que llevan al mismo suceso) → se suman. Generalización a $k$ etapas:

$$P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k) = P(A_1)\,P(A_2\mid A_1)\,P(A_3\mid A_1\cap A_2)\cdots$$

Probabilidad total

Si $\{A_1,\ldots,A_n\}$ es una partición del espacio muestral $(A_i\cap A_j=\varnothing,\;\bigcup A_i = \Omega)$:

$$P(B) \;=\; \sum_{i=1}^{n} P(A_i)\,P(B\mid A_i)$$

En el Árbol: sumar las probabilidades de todas las hojas que llevan a $B$.

Teorema de Bayes

$$P(A_k \mid B) \;=\; \dfrac{P(A_k)\,P(B \mid A_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} P(A_i)\,P(B\mid A_i)}$$

Sirve para "ir hacia atrás": una vez observado $B$, ¿cuál era la causa $A_k$ más probable? El Árbol invertido.

Reglas para construir un Árbol

Cada nivel representa una etapa del experimento (extracción, test, etc.).
Las ramas que salen de un mismo nodo deben sumar $1$.
Multiplicar por el camino para $P(\text{hoja})$, sumar hojas para $P(\text{suceso})$.
Si las etapas son independientes: $P(B\mid A) = P(B)$ y los pesos no cambian.

Diagramas de Venn y Álgebra de sucesos

Introduce P(A), P(B) y P(A∩B) para calcular todas las relaciones entre sucesos y ver el diagrama.

P(A)

P(B)

P(A∩B)

Haz clic en una tarjeta para resaltar esa región en el diagrama.

P(A)

Probabilidad de A

P(B)

Probabilidad de B

P(A∩B)

Intersección

P(A∪B)

= P(A)+P(B)−P(A∩B)

P(solo A) = P(A∩Bᶜ)

A pero no B = P(A)−P(A∩B) ≠ P(A)

P(solo B) = P(Aᶜ∩B)

B pero no A = P(B)−P(A∩B) ≠ P(B)

P(exactamente 1) — solo uno

= P(solo A) + P(solo B) = P(A∪B) − P(A∩B)

P(Aᶜ) — no A

= 1 − P(A)

P(Bᶜ) — no B

= 1 − P(B)

P(Aᶜ∩Bᶜ) — ni A ni B

= 1 − P(A∪B)

P(A|B)

= P(A∩B) / P(B)

P(B|A)

= P(A∩B) / P(A)

¿Son A y B independientes?

ver en diagrama

P(A∩B) = P(A)·P(B) ↔

¿Son A y B mutuamente excluyentes?

ver en diagrama

P(A∩B) = 0 → no pueden ocurrir a la vez

Álgebra de sucesos — 3 eventos

A, B y C

Introduce las probabilidades de cada suceso y sus intersecciones. El diagrama de Venn muestra las 8 regiones automáticamente.

P(A) P(B) P(C) P(A∩B) P(A∩C) P(B∩C) P(A∩B∩C) — triple intersección

P(A∪B∪C)

P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)

P(A∩B∩Cᶜ)

= P(A∩B) − P(A∩B∩C)

P(ninguno)

= 1 − P(A∪B∪C)

P(A∩B∩C)

triple intersección

P(Aᶜ) — no A

= 1 − P(A)

P(Bᶜ) — no B

= 1 − P(B)

P(Cᶜ) — no C

= 1 − P(C)

P(exactamente 1)

solo A + solo B + solo C

P(exactamente 2)

AB∩Cᶜ + AC∩Bᶜ + BC∩Aᶜ

P(al menos 1)

= P(A∪B∪C)

Principio de inclusión-exclusión (3 sucesos)

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) − P(A∩C) − P(B∩C) + P(A∩B∩C)

= + + − − − + =

Teoría · Álgebra de sucesos y axiomas de Kolmogórov

Axiomas de Kolmogórov

$\;P(A) \geq 0\;$ para todo suceso $A$.
$\;P(\Omega) = 1$.
Si $A \cap B = \varnothing$, entonces $\;P(A\cup B) = P(A) + P(B)$.

Operaciones con sucesos

Unión $A \cup B$: ocurre $A$, $B$ o ambos.
Intersección $A \cap B$: ocurren $A$ y $B$ simultáneamente.
Complementario $\overline{A}$: $\;P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
Diferencia $A \setminus B = A \cap \overline{B}$: $\;P(A) - P(A\cap B)$.
Sucesos incompatibles: $A\cap B = \varnothing$.
Sucesos independientes: $\;P(A\cap B) = P(A)\,P(B)$.

Inclusión–exclusión

$$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$

$$P(A\cup B\cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B\cap C)$$

Leyes de De Morgan

$$\overline{A\cup B} \;=\; \overline{A} \cap \overline{B}$$

$$\overline{A\cap B} \;=\; \overline{A} \cup \overline{B}$$

"No ocurre ninguno" $=$ "no ocurre $A$ y no ocurre $B$".

Regla de Laplace

$$P(A) \;=\; \dfrac{\#\,\text{casos favorables}}{\#\,\text{casos posibles}}$$

Sólo válida cuando todos los sucesos elementales son equiprobables.

Intervalos de confianza

Distribución:

n (tamaño muestra) x̄ (media muestral) s (desviación muestral) Nivel de confianza

z crítico

t crítico (gl=n−1)

Fórmula usada

IC para μ

[ , ]

E =

¿Cuándo usar t de Student?

• σ poblacional desconocida Y n < 30

• Para n ≥ 30, la t converge a la z (diferencia despreciable)

• La t tiene colas más anchas → IC más conservador

Estima una proporción poblacional a partir de una muestra. Fórmula: p̂ ± z√(p̂(1−p̂)/n).

n (tamaño muestra) x (número de Éxitos) Nivel de confianza

z crítico

Desglose del cálculo

Condición: np̂ ≥ 5 y n(1−p̂) ≥ 5

IC para p

[ , ]

p̂ = | E =

¿Qué significa este IC?

Con un de confianza, la proporción real de la población se encuentra entre los dos extremos calculados.

El margen de error E mide la precisión: a mayor n, menor E y mayor precisión.

Teoría · Intervalos de confianza y muestreo

Distribución muestral

Si extraemos muestras de tamaño $n$ de una población $\mathcal{N}(\mu,\sigma)$:

$$\bar{X} \;\sim\; \mathcal{N}\!\left(\mu,\;\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Por el Teorema Central del Límite, esto vale aproximadamente para cualquier población si $n$ es suficientemente grande ($n\geq 30$).

IC para la media (con $\sigma$ conocida)

$$\mathrm{IC}_{1-\alpha}(\mu) \;=\; \left[\,\bar{x} \;\pm\; z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\,\right]$$

$1-\alpha$ es el nivel de confianza (90%, 95%, 99%, …).
$z_{\alpha/2}$ es el valor crítico de la $\mathcal{N}(0,1)$: $z_{0{,}025}=1{,}96$, $z_{0{,}005}=2{,}576$.
Error máximo: $E = z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

IC para una proporción

Para $n$ grande con $n\hat p \geq 5$ y $n(1-\hat p)\geq 5$:

$$\mathrm{IC}_{1-\alpha}(p) \;=\; \left[\,\hat{p} \;\pm\; z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}}\,\right]$$

Tamaño muestral mínimo

Para que el error no supere un valor $E_0$ con confianza $1-\alpha$:

Para la media

$$n \;\geq\; \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E_0}\right)^{2}$$

Para una proporción

$$n \;\geq\; \left(\dfrac{z_{\alpha/2}}{E_0}\right)^{2}\hat p\,(1-\hat p)$$

Si no se conoce $\hat p$, se toma el peor caso $\hat p = 0{,}5$ (máxima incertidumbre).

Interpretación correcta

$1-\alpha$ es la probabilidad de que el procedimiento produzca un intervalo que contenga al parámetro.
NO dice que "$\mu$ está dentro con prob. $1-\alpha$": una vez calculado, $\mu$ está dentro o no.
A más confianza ⇒ intervalo más ancho. A más $n$ ⇒ intervalo más estrecho.

Teoría de Probabilidad y Estadística

Conceptos, fórmulas y ejemplos resueltos de todos los bloques

Combinatoria — factorial, variaciones, combinaciones

La combinatoria cuenta el número de formas de seleccionar o ordenar elementos. Hay cuatro operaciones básicas según si importa el orden y si se repiten los elementos.

Factorial $n!$

Número de formas de ordenar n objetos distintos en fila.

$n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \qquad 0! = 1$

Ejemplo: ¿de cuántas formas pueden sentarse 4 personas en 4 sillas? $4! = 24$

Variaciones $V_n^r$

Seleccionar r elementos de n y ordenarlos. El orden importa, sin repetición.

$V_n^r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$

Ejemplo: podio de 3 de 10 corredores → $V_{10}^3 = \frac{10!}{7!} = 720$

Combinaciones $C_n^r$

Seleccionar r de n. El orden NO importa, sin repetición.

$\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$

Ejemplo: elegir 3 de 10 personas para un comité → $\binom{10}{3} = 120$

Variaciones con repetición $VR_n^r$

Seleccionar r de n. El orden importa, con repetición permitida.

$VR_n^r = n^r$

Ejemplo: PINs de 4 dígitos (0-9) → $VR_{10}^4 = 10^4 = 10\,000$

Tabla resumen — ¿qué usar cuándo?

¿Importa el orden?

No → Combinaciones

¿Orden sí, sin rep.?

Variaciones $V_n^r$

¿Orden sí, con rep.?

$VR_n^r = n^r$

Probabilidad clásica — espacio muestral, sucesos, axiomas

La probabilidad mide qué tan probable es que ocurra un evento. La Regla de Laplace asume equiprobabilidad: todos los resultados tienen la misma probabilidad.

Definición de Laplace

$P(A) = \dfrac{\#\text{ casos favorables}}{\#\text{ casos totales}}$

Ejemplo: sacar un 4 al tirar un dado → $P(4) = \frac{1}{6}$

Sacar corazón de una baraja → $P(\heartsuit) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

Axiomas de Kolmogorov

• $0 \leq P(A) \leq 1$ siempre
• $P(\Omega) = 1$ (el espacio muestral es seguro)
• Si $A \cap B = \emptyset$: $P(A\cup B) = P(A)+P(B)$

De los axiomas se derivan el complementario $P(A^c)=1-P(A)$ y la adición general.

Álgebra de sucesos y fórmulas de adición

Unión (A o B):

$P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Complementario:

$P(A^c) = 1 - P(A)$

Mutuamente excluyentes:

$P(A\cap B)=0 \Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Ejemplo con baraja (52 cartas)

Sea A = "sacar un as" y B = "sacar corazón". $P(A)=\frac{4}{52}$, $P(B)=\frac{13}{52}$, $P(A\cap B)=\frac{1}{52}$

$P(A\cup B) = \frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \approx 0.308$

Probabilidad condicionada, independencia y Bayes

La probabilidad condicionada $P(A|B)$ mide la probabilidad de A sabiendo que ya ocurrió B. Si A y B son independientes, que ocurra B no aporta información sobre A.

Probabilidad condicionada

$P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

Regla del producto: $P(A\cap B) = P(A|B)\cdot P(B) = P(B|A)\cdot P(A)$

Ejemplo: de 100 personas, 40 usan gafas y 10 de ellas son zurdas. $P(\text{zurdo}|\text{gafas}) = 10/40 = 0.25$

Sucesos independientes

$A \perp B \iff P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$

Equivalentemente: $P(A|B) = P(A)$ — saber que B ocurrió no cambia la prob. de A.

Ejemplo: lanzar dos monedas. $P(\text{cara}_1 \cap \text{cara}_2) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ✓ independientes.

Teorema de la probabilidad total y Bayes

Si $A_1,\ldots,A_k$ forman una partición de $\Omega$:

$P(B) = \sum_{i=1}^{k} P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

Teorema de Bayes — "actualizar" la prob. a posteriori:

$P(A_i|B) = \dfrac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{P(B)}$

Ejemplo Bayes — prueba médica

Enfermedad: prevalencia $P(E) = 0.01$. Test: $P(+|E) = 0.95$ (sensibilidad), $P(+|E^c) = 0.05$ (tasa falsos positivos).

$P(+) = 0.95 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059$

$P(E|+) = \dfrac{0.95 \times 0.01}{0.059} \approx 0.161$ — ¡solo el 16%! Un test positivo no es diagnóstico definitivo si la enfermedad es rara.

Distribución Binomial $B(n,p)$ — Éxitos en n ensayos

La binomial modela el número de Éxitos en $n$ ensayos independientes donde cada uno tiene probabilidad de Éxito $p$ fija. Se llama experimento de Bernoulli.

Condiciones de uso

• Número de ensayos n fijo
• Cada ensayo: Éxito (p) o fracaso (1−p)
• Los ensayos son independientes
• p es constante en todos los ensayos

Ejemplos: monedas lanzadas, defectos en producción, preguntas de test de verdadero/falso

Fórmulas clave

$P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

Media: $\mu = np$ · Varianza: $\sigma^2 = npq$ · $q = 1-p$

Moda: valor(es) de k donde $P(X=k)$ es máximo.

Aproximación a la Normal (Moivre-Laplace)

Cuando $np \geq 5$ y $nq \geq 5$, se puede usar $X \approx N(np, \sqrt{npq})$. Con corrección de continuidad de Yates: $P(X \leq k) \approx P\!\left(Z \leq \frac{k+0.5-\mu}{\sigma}\right)$

La corrección ±0.5 compensa el paso de discreta a continua y mejora la precisión.

Ejemplo resuelto — control de calidad

Una máquina produce piezas con 4% de defectos. En un lote de 50 piezas, ¿P(exactamente 2 defectuosas)?

$X \sim B(50, 0.04)$. $P(X=2) = \binom{50}{2}(0.04)^2(0.96)^{48} = 1225 \times 0.0016 \times 0.1392 \approx 0.277$

Media: $\mu = 50 \times 0.04 = 2$ defectuosas. $P(X \leq 4)$ usando tabla o software.

Distribución Normal $N(\mu, \sigma)$ — la campana de Gauss

La distribución normal es la más importante en estadística. Aparece naturalmente como límite de sumas de muchas variables aleatorias (Teorema Central del Límite). Es simétrica, continua y definida por solo dos parámetros: $\mu$ y $\sigma$.

Función de densidad

$f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

• Simétrica en $x = \mu$ · Media = Mediana = Moda = μ

• Los puntos de inflexión están en $\mu \pm \sigma$

• El Área total bajo la curva = 1

Tipificación

$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$

Para calcular probabilidades se tipifica y se consulta la tabla Z. $\Phi(z) = P(Z < z)$

$P(X < x) = \Phi\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)$

Regla empírica 68-95-99.7

$\mu \pm \sigma$

68%

de los datos

$\mu \pm 2\sigma$

95%

de los datos

$\mu \pm 3\sigma$

99.7%

de los datos

Los 6 casos de probabilidad con la tabla Z

P(X < a)$= \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$ — buscar directamente en tabla

P(X > a)$= 1 - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$ — complementario

P(X < b)$= \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)$

P(X > b)$= 1 - \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)$

P(a<X<b)$= \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$ — diferencia de dos valores

P(colas)$= P(X<a) + P(X>b)$ — dos colas simétricas

Ejemplo — notas de un examen $N(65, 12)$

¿Qué porcentaje saca más de 80? $z = (80-65)/12 = 1.25$ → $P(Z > 1.25) = 1 - \Phi(1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056$ → 10.6%

¿Entre 50 y 80? $z_1 = (50-65)/12 = -1.25$ → $P(-1.25 < Z < 1.25) = 0.8944 - 0.1056 = 0.7888$ → 78.9%

Diagramas de Árbol — probabilidad compuesta y Bayes

Un diagrama de Árbol organiza visualmente experimentos en varias etapas. Cada nodo ramifica hacia los posibles resultados de esa etapa. La probabilidad de una hoja (camino completo) es el producto de todas las probabilidades del camino.

Regla del producto (rama a rama)

$P(\text{hoja}) = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k$

donde $p_i$ es la probabilidad de cada bifurcación del camino.

Verificación: la suma de todas las hojas debe dar 1.

Bayes con Árbol

Para calcular $P(A_i | B)$, primero se construye el Árbol con las probabilidades previas y condicionales. La probabilidad a posteriori es:

$P(A_i|B) = \dfrac{\text{rama que lleva a }B\text{ por }A_i}{\text{suma de ramas que llegan a }B}$

Ejemplo con Árbol — urnas

Urna 1: 3R, 2B. Urna 2: 1R, 4B. Se elige una urna al azar y se extrae una bola. ¿P(urna 1 | bola roja)?

$\frac{1}{2} \to U_1 \to R$: $\frac{1}{2}\times\frac{3}{5} = \frac{3}{10}$

$\frac{1}{2} \to U_1 \to B$: $\frac{1}{2}\times\frac{2}{5} = \frac{2}{10}$

$\frac{1}{2} \to U_2 \to R$: $\frac{1}{2}\times\frac{1}{5} = \frac{1}{10}$

$\frac{1}{2} \to U_2 \to B$: $\frac{1}{2}\times\frac{4}{5} = \frac{4}{10}$

$P(R) = \frac{3}{10}+\frac{1}{10} = \frac{4}{10}$

$P(U_1|R) = \dfrac{3/10}{4/10} = \dfrac{3}{4} = 0.75$

Diagramas de Venn y Álgebra de sucesos

Los diagramas de Venn visualizan las relaciones entre conjuntos. El espacio muestral Ω es el rectángulo exterior; cada evento es un círculo dentro.

Operaciones básicas

Intersección: $A \cap B$ — ocurren ambos

Unión: $A \cup B$ — ocurre al menos uno

Complementario: $A^c$ — no ocurre A

Diferencia: $A \setminus B = A \cap B^c$ — A sin B

Probabilidades derivadas

$P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$P(A \setminus B) = P(A) - P(A\cap B)$

$P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A\cup B)$

$P(A|B) = P(A\cap B)/P(B)$

Leyes de De Morgan

$(A\cup B)^c = A^c \cap B^c$

$(A\cap B)^c = A^c \cup B^c$

El complementario de una unión es la intersección de los complementarios y viceversa.

Ejemplo — encuesta a 200 personas

80 leen el periódico (A), 60 ven noticias (B), 30 hacen ambas. Buscar: P(solo A), P(ninguna), P(A|B).

$P(A)=80/200=0.4$, $P(B)=0.3$, $P(A\cap B)=30/200=0.15$

Solo A: $P(A\setminus B)=0.4-0.15=0.25$ · Solo B: $0.3-0.15=0.15$

Ninguna: $1-P(A\cup B)=1-(0.4+0.3-0.15)=0.45$ · $P(A|B)=0.15/0.3=0.5$

Intervalos de confianza — estimación de parámetros

Un intervalo de confianza (IC) al $(1-\alpha)$% da un rango donde, con esa probabilidad, se encuentra el parámetro poblacional. No es que el parámetro esté en ese intervalo con un 95% de prob. — el parámetro es fijo; es el intervalo el que varía de muestra en muestra.

IC para la media μ — normal (z)

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Usar cuando: σ conocida, o n ≥ 30 (TCL garantiza normalidad)

90%

z=1.645

95%

z=1.960

99%

z=2.576

IC para la media μ — t de Student

$\bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\dfrac{s}{\sqrt{n}}$

Usar cuando: σ desconocida Y n < 30. Los grados de libertad son gl = n−1.

La t tiene colas más pesadas → IC más ancho → más conservador → más seguro.

Margen de error E y tamaño muestral

$E = z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

IC = $[\bar{x}-E,\; \bar{x}+E]$. Amplitud total = 2E.

Para garantizar $E \leq E_0$, se necesita:

$n \geq \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E_0}\right)^2$

Ejemplo resuelto — IC al 95%

Muestra de n=25 alumnos, $\bar{x}=7.2$ puntos, $s=1.4$. σ desconocida → usar t con gl=24.

$t_{0.025,24} = 2.064$ (tabla o software)

$E = 2.064 \times \dfrac{1.4}{\sqrt{25}} = 2.064 \times 0.28 = 0.578$

IC 95%: $[7.2 - 0.578;\; 7.2 + 0.578] = [6.62;\; 7.78]$

Interpretación: si repitiéramos el muestreo muchas veces, el 95% de los ICs así construidos contendrían la media real μ.

Otras distribuciones — Poisson, geométrica, uniforme

Poisson $P(\lambda)$

$P(X=k)=\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

$\mu = \sigma^2 = \lambda$

Uso: contar eventos raros en tiempo/espacio fijo. Límite de B(n,p) cuando n→∞, p→0, np=λ.

Ej: llamadas en central telefónica, partículas emitidas en 1s.

Geométrica $G(p)$

$P(X=k) = p(1-p)^{k-1}$

$\mu = 1/p$ · $\sigma^2 = q/p^2$

Uso: número de ensayos hasta el primer Éxito. Sin memoria (el pasado no influye).

Ej: ¿cuántos intentos hasta meter una canasta con p=0.6?

Uniforme $U[a,b]$

$f(x)=\dfrac{1}{b-a}$, $x\in[a,b]$

$\mu = \dfrac{a+b}{2}$ · $\sigma^2 = \dfrac{(b-a)^2}{12}$

Todos los puntos del intervalo son equiprobables. El Área = probabilidad.

Ej: tiempo de espera de un autobús que pasa cada 10 min.

Relaciones entre distribuciones

$B(n,p) \xrightarrow{np\geq5} N(np, \sqrt{npq})$ — aproximación normal

$B(n,p) \xrightarrow{n\to\infty,\,np=\lambda} P(\lambda)$ — aproximación Poisson

$t_\nu \xrightarrow{\nu\to\infty} N(0,1)$ — t converge a Z

$\chi^2_\nu = $ suma de $\nu$ normales estándar al cuadrado