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¿Qué es una función?
concepto fundamentalDefinición con conjuntos
Una función f : A → B es una regla que asigna a cada elemento del dominio A exactamente un elemento del codominio B.
Analogía: la lavadora matemática
- → Si metes la misma ropa, siempre sale igual: determinismo.
- → Una camisa no puede salir como dos prendas distintas a la vez.
- → Distintas prendas sí pueden salir iguales (función no inyectiva).
Prueba de la recta vertical
La recta vertical toca la curva en 1 punto
La recta vertical toca en 2 puntos → no válida
Notación clave:
f(x) = imagen de x, o «valor de f en x»
Dom(f) = conjunto de x válidas
Im(f) = conjunto de valores que toma f
Gráfica = conjunto de pares {(x, f(x))}
Composición: (g∘f)(x) = g(f(x))
Inversa f⁻¹: existe si f es biyectiva
Graficador de funciones
hasta 4 simultáneasEscribe usando notación natural: sin(x), sqrt(x), ln(x), abs(x), x^2, pi, e. También acepta LaTeX: \sin, \sqrt{x}.
Se corrigen automáticamente superíndices de teclado (ej.: x², x⁻¹, x⁽³⁾) y signos Unicode para evitar errores de parseo.
Pulsa las teclas para insertar en la función f
Rango vertical
Usa automático por defecto y cambia a manual si la escala de Y sale rara.
Análisis completo por bloques
Selecciona qué función analizar. El análisis detalla dominio, cortes, signo, simetría, asíntotas, monotonía, curvatura, tangente e integral.
📋 Tabla de valores (verde = cero, naranja = extremo)
| x | f(x) | f′(x) ≈ | f″(x) ≈ |
|---|
Guía de conceptos de funciones
Despliega cada concepto para ver la teoría, los criterios de cálculo y ejemplos visuales.
D
Dominio y Recorrido
Dominio Dom(f): todos los valores de $x$ para los que $f(x)$ está definida. Se busca imponiendo las restricciones propias de cada operación.
Recorrido Im(f): conjunto de valores que $f$ realmente toma. Para hallarlo: despejar $x$ de $y = f(x)$ y ver qué valores de $y$ admiten solución real en Dom($f$).
Cómo hallar el dominio — Guía por tipo de función
| Tipo de función | Restricción | Método | Dominio típico |
|---|---|---|---|
| Polinómica $p(x)$ | Ninguna | Sin cálculo necesario | $\mathbb{R}$ |
| Racional $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ | $q(x) \neq 0$ | Resolver $q(x) = 0$, excluir esos valores | $\mathbb{R} \setminus \{$raíces de $q\}$ |
| Raíz par $\sqrt[2n]{f(x)}$ | $f(x) \geq 0$ | Resolver inecuación $f(x) \geq 0$ | $\{x : f(x) \geq 0\}$ |
| Logarítmica $\log f(x)$ | $f(x) > 0$ | Resolver inecuación $f(x) > 0$ | $\{x : f(x) > 0\}$ |
| Exponencial $a^{f(x)}$ | Ninguna (con $a>0$) | Dom = Dom($f$) | Dom($f$) |
| arcsin, arccos de $f(x)$ | $-1 \leq f(x) \leq 1$ | Resolver doble inecuación | $\{x : |f(x)| \leq 1\}$ |
| arctan de $f(x)$ | Ninguna | Dom = Dom($f$) | Dom($f$) |
| Combinada $f \circ g$ | Intersección de todas | Intersecar todas las restricciones | $\bigcap_k D_k$ |
Ejemplos resueltos paso a paso
Función racional: $f(x) = \dfrac{x+1}{x^2 - 4}$
Restricción: denominador $\neq 0$ → $x^2 - 4 \neq 0$ → $x \neq \pm 2$
Dom$(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2,\, 2\} = (-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)$
Raíz cuadrada: $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$
Restricción: radicando $\geq 0$ → $4 - x^2 \geq 0$ → $x^2 \leq 4$ → $-2 \leq x \leq 2$
Dom$(f) = [-2,\, 2]$
Recorrido: $f \in [0, 2]$ (máximo en $x=0$: $f(0)=2$)
Logarítmica: $f(x) = \ln(x^2 - 3x + 2)$
Restricción: argumento $> 0$ → $x^2 - 3x + 2 > 0$
Raíces de $x^2-3x+2=0$: $x=1$ y $x=2$. Parábola positiva fuera de las raíces:
Dom$(f) = (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$
Combinada: $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}}{x - 3}$
Restricción 1 (raíz): $x + 1 \geq 0$ → $x \geq -1$ → $[-1, +\infty)$
Restricción 2 (denominador): $x - 3 \neq 0$ → $x \neq 3$
Intersección: $[-1, +\infty)$ quitando $x=3$:
Dom$(f) = [-1, 3) \cup (3, +\infty)$
Arcocoseno: $f(x) = \arccos(2x - 1)$
Restricción: $-1 \leq 2x-1 \leq 1$ → $0 \leq 2x \leq 2$ → $0 \leq x \leq 1$
Dom$(f) = [0, 1]$
Recorrido: arccos toma valores en $[0, \pi]$, aquí también Im$(f) = [0, \pi]$
Notación de intervalos:
$[a, b]$ cerrado — incluye extremos
$(a, b)$ abierto — excluye extremos
$[a, +\infty)$ semiabierto por la derecha
$\mathbb{R} \setminus \{c\}$ — excluye un punto
C
Cortes con los Ejes
Corte con el eje X (zeros):
Resolver f(x) = 0
Son los puntos donde la gráfica cruza el eje horizontal. Pueden ser 0, 1 o varios. El graficador los marca en verde.
Corte con el eje Y (ordenada en el origen):
Calcular f(0) (si 0 ∈ Dom)
Es único si existe. Da el valor inicial de la función.
Ejemplo con f(x) = x² − 5x + 6:
• Eje X: x² − 5x + 6 = 0 → x = 2 y x = 3
• Eje Y: f(0) = 6 → punto (0, 6)
S
Signo de la Función
El signo indica dónde f(x) > 0 (está por encima del eje X) y dónde f(x) < 0 (por debajo).
Método de la tabla de signos:
1. Encontrar los ceros de f(x) (y las discontinuidades).
2. Ordenar esos puntos: x₁ < x₂ < … en el eje X.
3. En cada intervalo (−∞, x₁), (x₁, x₂), … evaluar f en un punto cualquiera.
4. El signo de ese punto se extiende a todo el intervalo (si f es continua).
| Intervalo | (−∞, 2) | (2, 3) | (3, +∞) |
|---|---|---|---|
| Signo de x²−5x+6 | + | − | + |
S
Simetría — Funciones Par e Impar
Función PAR
f(−x) = f(x) para todo x
Simétrica respecto al eje Y. Ejemplo: cos(x), x², |x|
Función IMPAR
f(−x) = −f(x) para todo x
Simétrica respecto al origen. Ejemplo: sin(x), x, x³
Truco general: sustituye x → −x y simplifica
• Si el resultado es igual a f(x) → función par
• Si el resultado es −f(x) → función impar
• Si no es ninguna de las dos → sin simetría
Truco para polinomios — inspección de exponentes
Si todos los exponentes son pares (incluyendo el término independiente como x⁰): la función es par.
Ej: f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5 → par (exponentes 4, 2, 0: todos pares)
Si todos los exponentes son impares (sin término independiente): la función es impar.
Ej: g(x) = x³ − 4x → impar (exponentes 3, 1: todos impares)
Si hay exponentes de ambos tipos mezclados: sin simetría.
Ej: h(x) = x³ + x² → ni par ni impar
⚠ El término independiente (constante) actúa como x⁰ (exponente 0, par). Si hay constante + exponentes impares → sin simetría.
Truco para funciones racionales p(x)/q(x)
La función racional es par si ambos polinomios p y q son pares, o ambos son impares.
La función racional es impar si uno de p, q es par y el otro es impar.
x²/(x²+1) → par/par = par
x³/(x²+1) → impar/par = impar
x/(x²+x) → impar/mixto = sin sim.
1/(x+1) → par/mixto = sin sim.
Esto se debe a que par/par = par, impar/impar = par, impar/par = impar.
Propiedad clave:
Suma de par + impar → sin simetría (excepto si alguna es la función nula f=0).
Producto par × par = par · impar × impar = par · par × impar = impar.
↑↓
Crecimiento y Decrecimiento
Creciente en I:
f'(x) > 0 para todo x ∈ I
Si a < b → f(a) < f(b)
Decreciente en I:
f'(x) < 0 para todo x ∈ I
Si a < b → f(a) > f(b)
Método:
1. Calcular f'(x)
2. Resolver f'(x) = 0 y f'(x) no definida → puntos críticos
3. Tabla de signos de f'(x) en cada intervalo
4. f' > 0 → creciente / f' < 0 → decreciente
El análisis automático del graficador detecta y muestra los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Los extremos quedan marcados como puntos naranja (máx) o índigo (mín).
M
Máximos y Mínimos
Extremo local en x₀:
Condición necesaria: f'(x₀) = 0 (punto crítico)
Criterio 2.ª derivada:
• f''(x₀) < 0 → máximo local
• f''(x₀) > 0 → mínimo local
• f''(x₀) = 0 → indeterminado, usar f'''
Criterio del cambio de signo de f':
• f' cambia + → − → máximo local
• f' cambia − → + → mínimo local
• f' no cambia de signo → punto de inflexión
Local vs Global:
Local: mayor/menor que los valores cercanos
Global: mayor/menor que todos los valores en Dom
Todo extremo global es local, pero no al revés.
En intervalo cerrado [a,b]:
El máximo/mínimo absoluto puede estar en:
• Los extremos críticos interiores
• Los extremos del intervalo: f(a) y f(b)
∪
Curvatura y Concavidad — Puntos de Inflexión
Cóncava ∪ (convexa hacia arriba):
f''(x) > 0 en I
La tangente está por debajo de la curva.
La función "sonríe" ☺
Convexo ∩ (cóncava hacia abajo):
f''(x) < 0 en I
La tangente está por encima de la curva.
La función "frunce" ☹
Punto de inflexión (marcado en rosa en el graficador):
Donde la concavidad cambia de signo. Condición necesaria: f''(x₀) = 0 o no existe.
Condición suficiente: f''(x₀) = 0 y f''(x₀⁻) y f''(x₀⁺) tienen signos opuestos.
A
Asíntotas — Verticales, Horizontales y Oblicuas
Asíntota Vertical (AV) x = a
lím f(x) = ±∞ cuando x → a (por la izquierda o por la derecha)
Cómo encontrarla: En racionales, iguala el denominador a 0 y comprueba que el numerador no se anule en ese punto (si ambos se anulan puede ser evitable).
1/x → q(x)=x=0 → AV: x=0
(x−1)/(x²−1) → raíces x=±1. x=1 cancela → x=−1 es AV
El graficador las señala con líneas rojas discontinuas.
Asíntota Horizontal (AH) y = L
lím f(x) = L cuando x → ±∞
Cómo encontrarla: Calcula el límite en ±∞. En racionales, divide numerador y denominador por la mayor potencia de x:
gr(p) < gr(q) → AH: y = 0
gr(p) = gr(q) → AH: y = a_n/b_n (cociente de coeficientes líderes)
gr(p) > gr(q) → no hay AH (puede haber AO)
3x²/(2x²+1) → AH: y = 3/2
Puede haber AH distintas en +∞ y −∞, ej: arctan(x).
Asíntota Oblicua (AO) y = mx + n
Existe cuando gr(p) = gr(q) + 1 (numerador tiene exactamente un grado más).
m = lím f(x)/x n = lím [f(x) − mx]
(x²+1)/x → m=1, n=0 → AO: y=x
(2x²−3x+1)/(x−1) → AO: y=2x−1
Truco para racionales: la división polinómica da la asíntota directamente
Para una función racional f(x) = p(x)/q(x) con gr(p) = gr(q)+1, divide p entre q. El cociente (sin el resto) es la asíntota oblicua.
Ejemplo: f(x) = (x² + 2x − 1) / (x + 1)
Dividimos x² + 2x − 1 entre x + 1:
x² + 2x − 1 = (x + 1) · (x + 1) + (−2)
↓ comprobación: (x+1)(x+1) = x²+2x+1, +resto −2 → x²+2x−1 ✓
f(x) = (x+1) + (−2)/(x+1)
Cuando x→∞: el término (−2)/(x+1)→0
→ AO: y = x + 1
Pasos del algoritmo de división:
- Divide el término líder del numerador entre el término líder del denominador → primer término del cociente
- Multiplica ese término por el denominador completo y réstalo al numerador
- Repite con el nuevo "numerador" hasta que su grado sea menor que el del denominador
- El cociente obtenido (sin el resto/denominador) es la AO
f(x) = (2x²−3)/(x−2)
2x²−3 ÷ (x−2):
→ cociente: 2x + 4
→ resto: 5
AO: y = 2x + 4
f(x) = (x³+1)/(x²−1)
x³+1 ÷ (x²−1):
→ cociente: x
→ resto: x+1
AO: y = x
Nota: si gr(p) > gr(q)+1 la curva diverge más rápido y no hay asíntota lineal (hay asíntota parabólica, etc.).
| gr(p) vs gr(q) | AV | AH | AO |
|---|---|---|---|
| gr(p) < gr(q) | posible | y = 0 | — |
| gr(p) = gr(q) | posible | y = a/b | — |
| gr(p) = gr(q)+1 | posible | — | y = mx+n |
| gr(p) > gr(q)+1 | posible | — | — |
T
Recta Tangente y Derivada
La recta tangente a la gráfica de f en el punto (x₀, f(x₀)) tiene pendiente f'(x₀).
Interpretación de f'(x₀):
• f'(x₀) > 0 → tangente sube (función crece)
• f'(x₀) < 0 → tangente baja (función decrece)
• f'(x₀) = 0 → tangente horizontal (extremo o inflexión)
• f'(x₀) → ±∞ → tangente vertical (cúspide)
Reglas de derivación esenciales:
(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
(eˣ)' = eˣ · (ln x)' = 1/x
(sin x)' = cos x · (cos x)' = −sin x
Cadena: (g∘f)' = g'(f(x))·f'(x)
Producto: (uv)' = u'v + uv'
En el graficador: ajusta «f'(x₀) — punto x₀» en el análisis y verás la recta tangente dibujada como línea discontinua en el color de la función seleccionada.
∫
Integral — Área bajo la Curva
La integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx mide el área con signo entre f(x) y el eje X en [a, b].
Teorema Fundamental del Cálculo:
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
donde F es una primitiva de f: F'(x) = f(x)
Integrales inmediatas:
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n≠−1)
∫ eˣ dx = eˣ + C
∫ sin x dx = −cos x + C
∫ 1/x dx = ln|x| + C
El análisis automático calcula ∫ₐᵇ f(x) dx numéricamente por la regla de Simpson con 1000 subintervalos. Ajusta a y b en los campos del panel B.
F
Tipos de Funciones
Polinómica pₙ(x)
Dom = ℝ · continua en ℝ · sin asíntotas
Grado par: ramas → +∞ o −∞ iguales
Grado impar: ramas opuestas
Racional p(x)/q(x)
AV en raíces de q · si gr(p)=gr(q)+1 → AO
si gr(p)≤gr(q) → AH y=p∞/q∞
Trigonométrica
sin, cos: periódica T=2π, Im=[−1,1]
tan: T=π, AV en π/2+kπ
Exponencial aˣ (a>0, a≠1)
Dom = ℝ · siempre positiva · AH y=0
a>1: creciente · 0<a<1: decreciente
Logarítmica logₐ(x)
Dom = (0,+∞) · AV x=0
a>1: creciente · 0<a<1: decreciente
Radical √f(x)
Dom: f(x) ≥ 0 · Im ≥ 0
No diferenciable donde f(x)=0
Calculadora de Integrales
∫ f(x) dxPuedes calcular integral definida, indefinida (sin límites) y área entre dos funciones. También se sugiere el método de integración.
En modo entre funciones sin límites, usa los puntos de corte automáticos.
(aproximación numérica — Simpson 1/3, n=1000)
Integral indefinida
📖 Guía de métodos de integración
📐 Fórmula directa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1), ∫eˣ dx = eˣ
∫sin x dx = −cos x, ∫cos x dx = sin x
∫1/x dx = ln|x|, ∫aˣ dx = aˣ/ln a
🔀 Sustitución u = g(x)
Si el integrando contiene f(g(x))·g'(x),
pon u=g(x), du=g'(x)dx → ∫f(u)du
Útil en: e^(x²)·2x, sin(x²)·2x…
🔄 Integración por partes
∫u·dv = u·v − ∫v·du
Orden ILATE: Inv. trig, Log, Alg, Trig, Exp
Útil en: x·sin x, x·eˣ, ln x…
➗ Fracciones parciales
Para P(x)/Q(x) con gr(P) < gr(Q)
Factoriza Q(x), descompón en A/(x−r₁)+…
Útil en: 1/(x²−1), (2x+3)/(x²+x)…
📐 Sust. trigonométrica
√(a²−x²) → x=a·sin θ
√(a²+x²) → x=a·tan θ
√(x²−a²) → x=a·sec θ
🔢 Método numérico
Para primitivas no elementales: Γ(x), erf(x)…
Simpson 1/3, Gauss-Legendre, Monte Carlo…
Error Simpson: |E| ≤ (b−a)⁵·M₄/(180n⁴)
