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🧮

Resolución de Ecuaciones

Todos los tipos — paso a paso con procedimiento completo

📖 Teoría Ecuación de 1.er grado

Una ecuación lineal tiene la incógnita $x$ sólo con exponente 1. La estrategia es agrupar los términos con $x$ a un lado y las constantes al otro.

$$ax + b = cx + d \;\Longrightarrow\; (a-c)\,x = d - b \;\Longrightarrow\; \boxed{x = \dfrac{d-b}{a-c}}$$

✅ SCD — Única solución

$a - c \neq 0$

$x = \dfrac{d-b}{a-c}$

♾ SCI — Infinitas

$a = c$ y $b = d$

cualquier $x$ es solución

❌ SI — Sin solución

$a = c$ y $b \neq d$

contradicción $0 = k$

Ejemplo: $3x + 2 = x + 8$ → $(3-1)x = 8-2$ → $2x = 6$ → $x = 3$

1er grado

ax + b = cx + d

Introduce los coeficientes de la ecuación lineal.

a (coef. x izq.)

b (constante izq.)

c (coef. x der.)

d (constante der.)

x + () = x + ()

📖 Teoría Ecuación cuadrática de 2.¡ grado

La ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a \neq 0$) se resuelve con la fórmula cuadrática. El discriminante $\Delta$ determina el número y tipo de soluciones.

$$\Delta = b^2 - 4ac \qquad\qquad x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

$\Delta > 0$ — Dos raíces reales

$x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$\Delta = 0$ — Raíz doble

$x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}$

vértice de la parábola

$\Delta < 0$ — Sin sol. real

sólo raíces complejas

$\sqrt{\Delta} \notin \mathbb{R}$

Relaciones de Vieta

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

Útiles para verificar la solución

Factorización (si $\Delta \geq 0$)

$ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$

Ej: $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$

2do grado

ax² + bx + c = 0

Fórmula cuadrática, discriminante y factorización.

()x² + ()x + () = 0

📖 Teoría Ecuación bicuadrática — Cambio de variable

Una ecuación bicuadrática sólo tiene potencias pares de $x$ (grados 4, 2, 0). El truco es hacer el cambio de variable $t = x^2$ y resolver la cuadrática en $t$; después se recupera $x$.

$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \;\xrightarrow{\;t=x^2\;}\; at^2 + bt + c = 0 \;\xrightarrow{\;x=\pm\sqrt{t}\;}\; x$$

Paso 1 — Resolver en $t$

Calcular $\Delta = b^2 - 4ac$ y aplicar la fórmula cuadrática para obtener $t_1, t_2$

Paso 2 — Recuperar $x$ de $t$

De $t = x^2$: $x = \pm\sqrt{t}$, sólo si $t \geq 0$

Si $t < 0$ → no hay solución real para ese valor de $t$

Número de soluciones reales posibles:

• $t_1 > 0$, $t_2 > 0$: hasta 4 raíces $\pm\sqrt{t_1},\, \pm\sqrt{t_2}$

• $t_1 > 0$, $t_2 < 0$: 2 raíces $\pm\sqrt{t_1}$

• $t_1 = 0$, $t_2 > 0$: 3 raíces $0,\, \pm\sqrt{t_2}$

• $t_1 < 0$, $t_2 < 0$: sin solución real

bicuadrática

ax⁴ + bx² + c = 0

Cambio de variable t = x² → ecuación de 2º grado en t.

()x⁴ + ()x² + () = 0

📖 Teoría Ecuación cúbica — Ruffini y raíces racionales

Toda ecuación cúbica real tiene al menos una raíz real. La estrategia estándar: encontrar una raíz racional con el Teorema de las raíces racionales, luego usar la división sintética (Ruffini) para reducirla a cuadrática.

1. Teorema de raíces racionales

Las candidatas a raíz racional son:

$$x = \pm\dfrac{p}{q}$$

donde $p$ divide a la cte. $d$ y $q$ divide al coef. líder $a$

2. División sintética (Ruffini)

Si $r$ es raíz, entonces:

$$p(x) = (x-r)\cdot q(x)$$

donde $q(x)$ es cuadrática → resolver con $\Delta$

Ejemplo de Ruffini: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$, raíz $r = 1$

1 | 1 −6 11 −6

| 1 −5 6

|________________________

| 1 −5 6 | 0 ← resto 0 confirma la raíz

→ $(x-1)(x^2-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3) = 0$ → $x = 1, 2, 3$

3er grado

ax² + bx² + cx + d = 0

Raíces racionales candidatas + división sintética + resolución del cociente cuadrático.

()x² + ()x² + ()x + () = 0

📖 Teoría Sistemas 2×2 — 3 métodos de resolución

Dado el sistema $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ existen tres métodos algebraicos clásicos:

🔄 Sustitución

Despeja x (o y) de una ecuación.
Sustituye esa expresión en la otra.
Resuelves la ecuación de 1 incógnita.
Vuelves atrás para hallar la otra.

Ideal cuando un coeficiente es 1 o −1.

➕ Reducción (eliminación)

Multiplica cada ecuación por un factor.
Suma o resta para qué un término se anule.
Resuelves la ecuación resultante.
Sustituyes para hallar la otra incógnita.

Eficaz con coeficientes enteros.

⇔ Igualación

Despeja la misma incógnita en ambas.
Iguala las dos expresiones.
Resuelves la ecuación de 1 incógnita.
Sustituyes para hallar la otra.

Muy intuitivo y simétrico.

Tipos de sistema

SCD (solución Única)

$D \neq 0$ — rectas secantes

SCI (∞ soluciones)

$D=0$, proporcionales — coincidentes

SI (sin solución)

$D=0$, no proporcionales — paralelas

sistema 2×2

a₁x + b₁y = c₁ / a₂x + b₂y = c₂

Método de resolución

a₁

b₁

c₁

a₂

b₂

c₂

x + y =

📖 Teoría Ecuación racional — Producto en cruz

Una ecuación racional tiene la incógnita en el denominador. Se resuelve multiplicando en cruz para eliminar el denominador, pero hay qué verificar qué la solución no anule el denominador (condición de dominio).

$$\dfrac{ax+b}{cx+d} = e \;\Longrightarrow\; ax+b = e(cx+d) \;\Longrightarrow\; (a-ec)\,x = ed-b \;\Longrightarrow\; \boxed{x = \dfrac{ed-b}{a-ec}}$$

⚠ Restricción del dominio

El denominador no puede ser cero:

$cx + d \neq 0 \;\Rightarrow\; x \neq -\dfrac{d}{c}$ (si $c \neq 0$)

Si la solución obtenida anula el denominador, se descarta.

Ejemplo:

$\dfrac{2x+1}{x-3} = 5$

$\Rightarrow 2x+1 = 5(x-3) = 5x-15$

$\Rightarrow -3x = -16 \Rightarrow x = \dfrac{16}{3}$

✓ $x \neq 3$ → solución válida

racional

(ax + b) / (cx + d) = e

Multiplicamos en cruz y verificamos qué no se anule el denominador.

a (num.)

b (num.)

c (den.)

d (den.)

e (resultado)

(x + ) / (x + ) =

📖 Teoría Ecuación exponencial — Aplicación de logaritmos

En una ecuación exponencial la incógnita aparece en el exponente. Para despejar $x$ se aplican logaritmos a ambos lados, aprovechando qué $\log(b^x) = x \cdot \log(b)$.

$$a \cdot b^x = c \;\Longrightarrow\; b^x = \dfrac{c}{a} \;\Longrightarrow\; x \cdot \ln(b) = \ln\!\left(\dfrac{c}{a}\right) \;\Longrightarrow\; \boxed{x = \dfrac{\ln(c/a)}{\ln(b)} = \log_b\!\left(\dfrac{c}{a}\right)}$$

Condiciones de existencia

• $a \neq 0$ (factor no nulo)

• $b > 0$, $b \neq 1$ (base exponencial válida)

• $c/a > 0$ (argumento del logaritmo debe ser positivo)

• Si $c/a \leq 0$ → sin solución real

Propiedades clave de logaritmos

$\ln(b^x) = x\ln(b)$ $b^{\log_b x} = x$

$\log_b(x) = \dfrac{\ln x}{\ln b}$ (cambio de base)

$\ln(xy) = \ln x + \ln y$

$\ln(x/y) = \ln x - \ln y$

Ejemplo: $3 \cdot 2^x = 24$

$2^x = 8 = 2^3$ → $x = 3$ (o bien: $x = \ln(8)/\ln(2) = 3$)

exponencial

a — base^x = b

Se aplican logaritmos a ambos lados para despejar el exponente.

a (factor)

base (≠ 1, > 0)

b (resultado)

— ^x =

¿Qué es una ecuación irracional?

Una ecuación es irracional cuando la incógnita aparece bajo un radical (√). La técnica fundamental es elevar al cuadrado para eliminar el radical, pero esto puede generar soluciones extrañas qué NO satisfacen la ecuación original, por lo qué la verificación es imprescindible.

Tipo simple

√(ax+b) = c

1 radical, c constante

Radical = lineal

√(ax+b) = cx+d

→ cuadrática, verificar

Suma de radicales

√(ax+b)+√(cx+d)=k

→ cuadrar 2 veces

Dos radicales

nº√(ax+b)=√(cx+d)

→ lineal directa

tipo simple

√(ax + b) = c

Condición necesaria: c ≥ 0 (la raíz siempre da valor ≥ 0). Dominio: ax+b ≥ 0.

a (coef. x bajo raíz)

b (cte. bajo raíz)

c (resultado, ≥ 0)

√(x + ) =

radical = lineal

√(ax + b) = cx + d

Al elevar al cuadrado aparece una ecuación de 2º grado. Posibles soluciones extrañas donde cx+d < 0.

a (coef. x bajo √)

b (cte. bajo √)

c (coef. x der.)

d (cte. der.)

√(x + ) = x +

⚠ Advertencia: Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones qué no verifican la ecuación original. El solucionador verifica automáticamente cada candidata.

suma de radicales

√(ax+b) + √(cx+d) = k

Se aisla un radical y se eleva al cuadrado dos veces: la primera vez queda un radical, la segunda lo elimina. El proceso genera posibles soluciones extrañas.

a (coef. x, 1er √)

b (cte., 1er √)

c (coef. x, 2º √)

d (cte., 2º √)

k (resultado)

√(x + ) + √(x + ) =

radicales a ambos lados

n — √(ax+b) = √(cx+d)

Elevando al cuadrado se obtiene una ecuación lineal. Resolución directa, pero hay qué verificar el dominio y la solución.

n (factor izq.)

a (coef. x izq.)

b (cte. izq.)

c (coef. x der.)

d (cte. der.)

— √(x + ) = √(x + )

📖 Teoría Ecuación trigonométrica — Soluciones periódicas

Las ecuaciones trigonométricas tienen infinitas soluciones porque sin, cos y tan son funciones periódicas. Se buscan las soluciones en $[0º, 360º)$ (o $[0, 2\pi)$) y se expresan en forma general añadiendo el periodo.

Soluciones generales (con $n \in \mathbb{Z}$):

$\sin(x) = k$, $|k| \leq 1$

$$x_1 = \arcsin(k) + 2n\pi$$ $$x_2 = \pi - \arcsin(k) + 2n\pi$$

$\cos(x) = k$, $|k| \leq 1$

$$x = \pm\arccos(k) + 2n\pi$$

$\tan(x) = k$ ($\forall k \in \mathbb{R}$)

$$x = \arctan(k) + n\pi$$

Valores exactos clave (cuadrante I):

$0º$

sin=$0$

cos=$1$

$30º$

sin=$\frac{1}{2}$

cos=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$45º$

sin=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

cos=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$60º$

sin=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos=$\frac{1}{2}$

Truco para otros cuadrantes:

• $\sin(\pi - x) = \sin(x)$ • $\cos(\pi + x) = -\cos(x)$ • $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$

• $\cos(2\pi - x) = \cos(x)$ • El solucionador da los Ángulos en $[0º, 360º)$ y la forma general.

trigonométrica

f(x) = k

Soluciones en [0º, 360º) y solución general en ℝ.

Función

k (valor, sin/cos: −1 a 1)

(x) =

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Resolución de Ecuaciones

ax + b = cx + d

Resolución paso a paso

ax² + bx + c = 0

Resolución paso a paso

ax⁴ + bx² + c = 0

Resolución paso a paso

ax² + bx² + cx + d = 0

Resolución paso a paso

a₁x + b₁y = c₁ / a₂x + b₂y = c₂

Resolución paso a paso —

(ax + b) / (cx + d) = e

Resolución paso a paso

a — base^x = b

Resolución paso a paso

√(ax + b) = c

√(ax + b) = cx + d

√(ax+b) + √(cx+d) = k

n — √(ax+b) = √(cx+d)

Resolución paso a paso

f(x) = k

Resolución paso a paso

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