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Cálculo · Funciones de varias variables
La gráfica es una superficie; el plano tangente la besa en un punto
Una derivada parcial mira solo un corte (congelas $y$ o congelas $x$). El gradiente junta esas pendientes. Ser diferenciable es más fuerte: cerca de $P$ la superficie se parece a un plano con error más fino que la distancia a $P$.
Superficie $z=f(x,y)$
En la gráfica: etiquetas x, y, z (ejes), fx / fy (pendientes parciales) y el parche dorado (plano tangente). KaTeX no pinta dentro del SVG; las fórmulas van debajo.
f(P)
fₓ
fᵧ
|∇f|
Derivada parcial $f_x$
Fijas $y=y_0$ y derivas en $x$: pendiente del corte «este–oeste».
$f_x=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$
Gradiente $\nabla f$
El vector $(f_x,f_y)$ en el plano $xy$. Apunta al máximo crecimiento; su módulo es esa tasa.
Diferenciabilidad
Existe un plano $z=f(P)+\nabla f\cdot h$ tal que el residuo es $o(|h|)$ cuando $h\to 0$.
Gradiente y dirección en el plano
El mapa de colores es $f$ vista desde arriba. Rojo = $\nabla f$; amarillo = dirección unitaria $u$ (ángulo). La derivada direccional es el producto $\nabla f\cdot u$.
Residuo del plano tangente
Muévete $\Delta x$, $\Delta y$ desde $P$. Compara $f(P+\Delta)$ con la predicción del plano. Si al acercarte el residuo cae mucho más rápido que $|\Delta|$, la aproximación es la de una diferencial.
$f(P+\Delta)$
Plano
Residuo
Corte a lo largo de $(\Delta x,\Delta y)$: cian = $f$, rojo = plano.
Cómo estudiar un punto
- Calcula $f_x$ y $f_y$ (si existen) en $P$.
- Escribe el candidato a plano tangente $z=f(P)+f_x\Delta x+f_y\Delta y$.
- Mira el residuo: ¿va a $0$ más rápido que $|\Delta|$?
- Si sí → diferenciable; si no → solo parciales (o ni eso). El ejemplo clásico es $|x|+|y|$ en el origen.
- Con diferenciabilidad, la derivada direccional en dirección unitaria $u$ es $\nabla f\cdot u$.
Referencia rápida
Stewart / Marsden–Tromba / Apostol: diferenciabilidad, gradiente y plano tangente. En $|x|+|y|$ en $(0,0)$ no hay un único plano que aproxime la superficie en todas las direcciones.
