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Cálculo I · una variable
La derivada es una pendiente
En Cálculo I trabajamos con funciones de una variable: límites, derivadas e integrales. Las funciones de varias variables ($f(x,y)$, gradientes, etc.) van en otro bloque. Aquí $f'(a)$ es el límite de las pendientes de las secantes cuando el segundo punto se acerca a $a$.
Definición, en palabras y en fórmula
Fijas un punto $a$ en el eje $x$ y miras el valor $f(a)$ sobre la gráfica. Luego eliges un paso $h\neq 0$ y miras el punto $a+h$. La recta que une $(a,f(a))$ con $(a+h,f(a+h))$ es una secante. Su pendiente es el cociente incremental
$\displaystyle m_{\mathrm{sec}}(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
Si cuando $h\to 0$ ese número se estabiliza en un valor $L$, decimos que $f$ es derivable en $a$ y escribimos $f'(a)=L$. Geométricamente, $L$ es la pendiente de la tangente.
Si el límite por la izquierda y por la derecha no coinciden (como en $|x|$ en $0$), no hay derivada: la gráfica tiene un pico y no hay una sola recta tangente.
Pasos para calcular $f'(a)$ con la definición
- Escribe el cociente $\big(f(a+h)-f(a)\big)/h$.
- Simplifica algebraicamente (cancelar $h$ si puedes).
- Toma $\lim_{h\to 0}$. Si existe, ese es $f'(a)$.
- Interpreta: pendiente de la tangente en $x=a$.
Laboratorio
$m_{\mathrm{sec}}$
$f'(a)$
Ejercicio resuelto · integral por partes (dos veces)
Cálculo ILa derivada y la integral se hablan: si sabes derivar $x^2 e^x$, puedes integrar «hacia atrás» con integración por partes. Calculamos
$\displaystyle I=\int x^{2}e^{x}\,dx$
1) Fórmula
$\displaystyle\int u\,dv = uv-\int v\,du$. Elegimos $u=x^{2}$ (baja de grado al derivar) y $dv=e^{x}\,dx$.
Entonces $du=2x\,dx$ y $v=e^{x}$.
2) Primera aplicación
$\displaystyle I=x^{2}e^{x}-\int e^{x}\cdot 2x\,dx=x^{2}e^{x}-2\int x e^{x}\,dx$.
Queda otra integral por partes: $J=\int x e^{x}\,dx$.
3) Segunda vez (para $J$)
$u=x$, $dv=e^{x}\,dx$ ⇒ $du=dx$, $v=e^{x}$.
$\displaystyle J=x e^{x}-\int e^{x}\,dx=x e^{x}-e^{x}+C_{1}=e^{x}(x-1)+C_{1}$.
4) Sustituye y comprueba
$\displaystyle I=x^{2}e^{x}-2e^{x}(x-1)+C=e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big)+C$.
Comprueba derivando: $\dfrac{d}{dx}\big[e^{x}(x^{2}-2x+2)\big]=e^{x}(x^{2}-2x+2)+e^{x}(2x-2)=e^{x}x^{2}$. Cuadra.
Si el polinomio es de grado $n$, por partes hace falta aplicarla $n$ veces (o usar la tabla de partes). En la pestaña de integrales (Riemann) ves el área; aquí el antiderivado concreto.
