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🔢 álgebra Lineal — Matrices

¿Qué es una matriz?

Una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en m filas y n columnas. Se denota $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$.

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$

Tipos especiales

Cuadrada: $m = n$ (igual nº de filas y columnas)
Identidad $I_n$: cuadrada con $1$ en la diagonal y $0$ en el resto
Nula $O$: todos los elementos son $0$
Diagonal: solo tiene elementos en la diagonal principal
Triangular: superior o inferior (ceros bajo/sobre la diagonal)
Simétrica: $A = A^T$

Propiedades clave

$A + B = B + A$ (conmutativa en suma)
$A \cdot B \neq B \cdot A$ (no conmutativa en producto)
$(AB)C = A(BC)$ (asociativa)
$A(B+C) = AB + AC$ (distributiva)
$(A^T)^T = A$
$(AB)^T = B^T A^T$

📖 Teoría Suma y Resta de Matrices

Para sumar o restar matrices, deben tener las mismas dimensiones $m \times n$. La operación se realiza elemento a elemento.

$$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \qquad (A - B)_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$$

Propiedades de la suma

$A + B = B + A$ (conmutativa)

$(A + B) + C = A + (B + C)$ (asociativa)

$A + O = A$ (elemento neutro)

$A + (-A) = O$ (elemento opuesto)

Ejemplo $2 \times 2$:

$$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}$$

📖 Teoría Producto por Escalar

El producto escalar multiplica cada elemento de la matriz por el escalar $\lambda \in \mathbb{R}$. No cambia las dimensiones.

$$(\lambda A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij} \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$

Propiedades

$(\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A$ (distributiva)

$\lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B$

$(\lambda\mu)A = \lambda(\mu A)$ (asociativa)

$1 \cdot A = A$, $0 \cdot A = O$

$\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ para $A$ $n{\times}n$

Ejemplo con $\lambda = 3$:

$$3 \cdot \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&6\\9&12\end{pmatrix}$$

📖 Teoría Producto Matricial $A \cdot B$

El producto matricial requiere que el número de columnas de A coincida con el número de filas de B. El resultado es una combinación de filas por columnas.

Si $A \in \mathbb{R}^{m \times p}$ y $B \in \mathbb{R}^{p \times n}$, entonces $AB \in \mathbb{R}^{m \times n}$:

$$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj} \quad \text{(fila } i \text{ de } A \cdot \text{ col } j \text{ de } B\text{)}$$

Propiedades importantes

$AB \neq BA$ en general (no conmutativa)

$(AB)C = A(BC)$ (asociativa)

$A(B+C) = AB+AC$ (distributiva)

$(AB)^T = B^T A^T$

$\det(AB) = \det A \cdot \det B$

Ejemplo $2\times 2$:

$$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot5+2\cdot7 & 1\cdot6+2\cdot8\\3\cdot5+4\cdot7 & 3\cdot6+4\cdot8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$$

📖 Teoría Transpuesta $A^T$

La matriz transpuesta $A^T$ se obtiene intercambiando filas y columnas de $A$: la fila $i$ de $A$ pasa a ser la columna $i$ de $A^T$.

$$(A^T)_{ij} = a_{ji} \qquad \text{Si } A \in \mathbb{R}^{m\times n} \Rightarrow A^T \in \mathbb{R}^{n\times m}$$

Propiedades

$(A^T)^T = A$

$(A+B)^T = A^T + B^T$

$(\lambda A)^T = \lambda A^T$

$(AB)^T = B^T A^T$ (orden invertido!)

$\det(A^T) = \det(A)$

Si $A^T = A$ → $A$ es simétrica

Si $A^T = -A$ → $A$ es antisim�trica

Ejemplo:

$$A = \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} \;\Rightarrow\; A^T = \begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}$$

📖 Teoría Determinante $\det(A)$

El determinante es un escalar asociado a matrices cuadradas. Geometricamente, $|\det(A)|$ es el volumen (rea en 2D) del paralelepípedo formado por las filas/columnas. Es nulo si las filas son linealmente dependientes.

Orden 2:

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = ad - bc$$

Regla de Sarrus (orden 3):

$$\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}$$ $$- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$

Propiedades clave

$\det(AB) = \det A \cdot \det B$

$\det(A^T) = \det A$

$\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$

Si $\det A \neq 0$ → $A$ es regular (invertible)

Si $\det A = 0$ → $A$ es singular (no invertible)

Operaciones que cambian el det.

• Intercambiar 2 filas → $\det$ cambia de signo

• Multiplicar fila por $k$ → $\det$ se multiplica por $k$

• Sumar múltiplo de una fila a otra → $\det$ no cambia

• Fila de ceros o filas iguales → $\det = 0$

📖 Teoría Matriz Inversa $A^{-1}$

La matriz inversa $A^{-1}$ de una matriz cuadrada $A$ existe si y solo si $\det(A) \neq 0$. Se define como la única matriz que satisface $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n$.

Fórmula mediante adjunta (ptima para orden ≤ 3):

$$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \qquad \text{adj}(A) = (C_{ij})^T$$

donde $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ son los cofactores y $M_{ij}$ el menor complementario

Propiedades

$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n$

$(A^{-1})^{-1} = A$

$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ (orden invertido!)

$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$

$\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)$

Método Gauss-Jordan

Escribir la matriz ampliada $[A | I_n]$ y aplicar operaciones elementales de filas hasta transformar la parte izquierda en $I_n$: la parte derecha resultante es $A^{-1}$.

Esto es equivalente a la fórmula de la adjunta y más estable numéricamente para órdenes grandes.

Configurar matrices

Filas A

Cols A

Filas B

Cols B

Matriz A (¡)

Matriz B (¡)

Escalar k:

🧩 Ecuaciones matriciales

Despeje simbólico y numérico

Escribe una ecuación matricial (por ejemplo AX=B, XA+C=B, A+X=B) y resuelve mostrando el despeje paso a paso.

Ecuación

Matriz A (opcional, texto) Matriz B (opcional, texto) Matriz C (opcional, texto)

Tamaño n�n

Matriz A

Matriz B

Vector b para sistema Ax=b (n�1)

Sistema matricial Ax=b resuelto paso a paso

🔣 Sistema de ecuaciones matriciales

incógnitas X, Y, Z (matrices)

Sistemas del tipo α₁X + β₁Y = C₁, α₂X + β₂Y = C₂. Los coeficientes son escalares; las incógnitas y los términos independientes son matrices del mismo tamaño.

Nº de ecuaciones/incógnitas Tamaño de cada matriz

Sistema

Coeficientes escalares

Ec.

✅ Matrices solución

📖 ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones matriciales?

Un sistema de ecuaciones matriciales con incógnitas matriciales se puede escribir como:

α₁X + β₁Y = C₁

α₂X + β₂Y = C₂

Los coeficientes α, β son escalares. La clave: podemos tratar cada posición (i,j) de las matrices de forma independiente, resolviendo el mismo sistema escalar para cada elemento.

Equivalentemente: si la matriz de coeficientes escalares $K = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \beta_1 \\ \alpha_2 & \beta_2 \end{pmatrix}$ es invertible, entonces:

$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = K^{-1} \begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \end{pmatrix}$

donde las operaciones se aplican elemento a elemento sobre las matrices.

🔄 Matrices cíclicas (circulantes)

cada fila rota la anterior

La matriz circulante queda determinada por su primera fila. Cada fila siguiente es una rotación circular a la derecha.

Tamaño n�n

Primera fila

Analizar matriz escrita (patrones)

Separadores válidos: nueva línea o ; entre filas, y espacios/comas entre valores.

Matriz circulante generada

det(C)

tr(C)

📊 Rango de una Matriz — Escalonamiento de Gauss

Hasta 4�4

Introduce la matriz A. Se realizar� la eliminación gaussiana paso a paso y se calcular� el rango, el núcleo y si los vectores columna son linealmente independientes.

Filas Columnas

Matriz A

Rango

Dim. núcleo (nulidad)

Columnas

📖 Teoría del rango y el teorema de Rouché-Frobenius

Definición

El rango de $A$ (denotado $\text{rg}(A)$) es el número de filas no nulas en su forma escalonada, equivalente al número de columnas/filas linealmente independientes.

$\text{rg}(A) = \dim(\text{Im}(A)) = n - \dim(\ker A)$

Propiedades

$\text{rg}(A) \leq \min(m, n)$
$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^T)$
$\text{rg}(AB) \leq \min(\text{rg}(A), \text{rg}(B))$
Si $A$ es $n\times n$: $\text{rg}(A)=n \Leftrightarrow \det(A)\neq 0$
Sylvester: $\text{rg}(A)+\text{rg}(B)-n \leq \text{rg}(AB)$

Rouché-Frobenius para $Ax = b$

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=n$

✅ Compatible determinado

Solución única

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)

♾ Compatible indeterminado

$\infty$ soluciones (dim=$n-r$)

$\text{rg}(A)\neq\text{rg}(A|b)$

❌ Incompatible

Sin solución

🧮 Sistemas de Ecuaciones Matriciales (A�x = b)

Introduce la matriz A y el vector b. El sistema se resuelve paso a paso por eliminación gaussiana y, cuando procede, por Cramer.

Tamaño del sistema:

Matriz A (texto) Vector b (texto)

Coeficientes de la matriz A y vector b:

Sistema de ecuaciones

Matriz aumentada [A | b]

✅ Solución del sistema

Pasos de la eliminación gaussiana

📖 Criterio de Rouché-Frobenius

Solución única

rg(A) = rg(A|b) = n

∞ soluciones

rg(A) = rg(A|b) < n

Sin solución

rg(A) ≠ rg(A|b)

λ Sistema con Parámetro

Usa �k� como parámetro

Escribe los coeficientes usando números o la letra k (p.ej. k, 2k, k+1, k^2-1). El análisis determinar� para qué valores de k el sistema es compatible determinado, indeterminado o incompatible.

Ecuaciones (n�n)

= b

📖 Cómo discutir un sistema con parámetro

Pasos para discutir $Ax=b$ con λ

Escalonar la matriz ampliada $[A|b]$ con λ como símbolo
Calcular $\det(A)$ en función de λ — es un polinomio en λ
Encontrar los valores de λ donde $\det(A)=0$ (casos críticos)
Para cada valor crítico, calcular $\text{rg}(A)$ y $\text{rg}(A|b)$
Aplicar Rouché-Frobenius para clasificar cada caso
Para el caso general (λ no crítico), resolver el sistema normalmente

Interpretación geométrica

$\det(A)=0$ indica que las ecuaciones del sistema son linealmente dependientes para ese valor de λ. Las hiperplanos representados por las ecuaciones:

Si son paralelos → sin solución (incompatible)
Si coinciden → infinitas soluciones (indeterminado)
Si se cortan en una recta → ∞ soluciones 1D
Si se cortan en un plano → ∞ soluciones 2D