Estadística descriptiva

CONCEPTOS

La estadística descriptiva es la parte de la estadística que describe un conjunto de datos que ya tienes. No inventa valores nuevos ni predice el futuro: parte de una lista observada, la organiza y la resume para que se pueda leer con claridad.

Ese resumen suele hacerse de tres maneras a la vez: una tabla de frecuencias (cuántas veces aparece cada valor), un gráfico que muestra la forma del reparto, y unas medidas numéricas de centro —como la media o la mediana— y de dispersión —como la desviación típica —.

Población y muestra: La población es el conjunto completo que te interesa estudiar. La muestra es la parte concreta que has medido o encuestado.
Variable: Cualitativa (deporte, color) o cuantitativa (nota, altura, edad). Con las cuantitativas calculas , e histogramas.
Dato: Cada valor anotado. El conjunto es la lista completa: 5, 7, 7, 8, 9…

Tres formas de resumir

Tablas

Frecuencias y columnas , .

Gráficos

Barras, histograma, sectores, caja…

Medidas

Centro (, Me, Mo) y dispersión (rango, ).

DATOS

Grupo A

Pega números separados por comas, espacios o saltos. Admite decimales con punto o coma.

No pude leer números. Prueba: 5, 6, 7, 7, 8

n—

Media—

Mediana—

σ—

Grupo B · comparar

No pude leer números en B.

nᵦ—

Media B—

σᵦ—

Gráfico del conjunto A

CENTRALIZACIÓN

Dónde está el centro

Las medidas de centralización resumen el conjunto con un solo número que indica «alrededor de qué valor» se concentran los datos. No dicen si están muy juntos o muy abiertos: eso lo hace la dispersión.

Media aritmética

Sumas todos los valores y divides entre . Es la más usada, pero un valor extremo la arrastra: un 20 entre notas de 6 y 7 la sube claramente.

Mediana Me

Ordenas la lista y tomas el valor central (o la media de los dos centrales si es par). No se mueve tanto si aparece un extremo: describe mejor el centro «típico» en esos casos.

Moda Mo

El valor que más se repite. Sirve en cualitativas y en cuantitativas con repeticiones claras. Puede haber más de una moda, o ninguna si todos los valores aparecen igual de veces.

Si media y mediana están cerca, el conjunto suele ser bastante simétrico. Si la media queda claramente por encima de la mediana, hay cola hacia valores altos (y al revés).

Lab · tu conjunto

Media—

Mediana—

Moda—

Compara media y mediana sobre estos datos.

DISPERSIÓN

Dos grupos pueden compartir la misma media y repartirse de forma muy distinta. Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se abren los datos respecto al centro.

Rango

Solo mira el mínimo y el máximo. Es fácil de calcular, pero un único extremo lo dispara.

Varianza

Media de los cuadrados de las distancias a . Va en unidades al cuadrado.

Desviación típica

Raíz de la varianza. Vuelve a la misma unidad que los datos.

Cómo leerlas

Si es pequeña, los datos están pegados a la media. Si es grande, el conjunto se abre. El rango intercuartílico mide la dispersión de la mitad central.

El coeficiente de variación compara dispersiones cuando las escalas no coinciden (notas sobre 10 frente a tiempos en minutos). Para ver dos grupos a la vez, pasa a COMPARAR.

Lab · conjunto A

Media—

Rango—

σ / CV—

FRECUENCIAS

Paso a paso · tabla de frecuencias

Si un valor se repite muchas veces, no tiene sentido sumar la lista completa valor a valor. Se construye una tabla de frecuencias: se ordenan los datos, se cuentan las repeticiones y se añaden columnas auxiliares para calcular media y varianza con pocas operaciones.

1

Valores distintos

Ordena el conjunto y escribe cada valor que aparece al menos una vez, de menor a mayor.

2

Frecuencia absoluta

Cuántas veces aparece cada . El tamaño de la muestra es .

3

Relativas y acumuladas

es la proporción. acumula las frecuencias absolutas; .

4

Columnas de cálculo

Añade y . Con sus sumas obtienes y sin reescribir la lista original.

Cálculos con la tabla

Tabla de trabajo · A

CÁLCULO

La definición es correcta, pero si hay repeticiones conviene trabajar con las columnas de la tabla de frecuencias:

Media con frecuencias

Cada valor distinto se multiplica por las veces que aparece.

Varianza (definición)

Media de los cuadrados de las desviaciones a .

Varianza (práctica)

La de la tabla: usas y no restas en cada fila.

Desviación típica

Raíz de la varianza; vuelve a la misma unidad que los datos.

Ejemplo con la tabla de A

—

AGRUPADOS

Intervalos · marca de clase

Si hay muchos valores distintos, agrupar en intervalos. El representante de cada intervalo es la marca de clase (punto medio). Entonces:

Es una aproximación: dentro del intervalo no conoces cada dato exacto, solo cuántos caen ahí.

Lab · intervalos de A

x̄ (marcas)—

σ (aprox.)—

COMPARAR

Grupo A

n—

—

Me—

Rango—

IQR—

Grupo B

n—

—

Me—

Rango—

IQR—

Empieza por el centro ( y la mediana de la caja). Después mira la dispersión: , la longitud de la caja (IQR) y los bigotes. Misma media no implica el mismo reparto.

CUARTILES

Qué es un cuartil

Un cuartil es un valor que parte la serie ordenada de forma que separe aproximadamente una cuarta parte de los datos. Hay tres cuartiles: juntos dividen el conjunto en cuatro tramos con (casi) el mismo número de observaciones.

· primer cuartil: Deja por debajo cerca del 25 % de los datos. Es la mediana de la mitad inferior.
· segundo cuartil: Es la mediana: deja por debajo el 50 %. Es el centro de la serie ordenada.
· tercer cuartil: Deja por debajo cerca del 75 %. Es la mediana de la mitad superior.

El percentil generaliza la idea: deja por debajo el % de los datos. Así, , y son los percentiles 25, 50 y 75.

El rango intercuartílico mide la dispersión de la mitad central. En el diagrama de caja, la caja va de a ; aquí los bigotes llegan al mínimo y al máximo observados.

Diagrama de caja · A

Min—

—

Me—

—

Max—

VISUALIZAR

Un gráfico resume de un vistazo lo que la tabla cuenta fila a fila. La elección depende del tipo de variable y de la pregunta: comparar categorías, ver la forma del reparto o leer cuartiles.

Diagrama de barras

Cada valor o categoría tiene una barra de altura fᵢ (o hᵢ). Entre barras hay hueco. Sirve para cuantitativa discreta o cualitativa.

Histograma

La variable va en intervalos consecutivos. Las barras van pegadas porque las clases se siguen sin hueco. El eje Y es la frecuencia (o la densidad si las anchuras no son iguales).

Diagrama de sectores

El círculo representa el total. Cada trozo es proporcional a hᵢ. Útil con pocas categorías cuando quieres ver la parte del todo.

Polígono de frecuencias

Une las cimas de las barras (o las marcas de clase) con segmentos. Ayuda a ver la forma del reparto y a comparar dos conjuntos en el mismo eje.

Acumulada Fᵢ

En cada valor (o borde de intervalo) marcas cuántos datos son menores o iguales. Sube a saltos o en escalera hasta n. Sirve para medianas y percentiles a ojo.

Caja y bigotes

Resume cinco números: mínimo, Q₁, mediana, Q₃ y máximo. La caja es la mitad central (IQR). Los bigotes muestran hasta dónde llegan los extremos (aquí, min y max).

Histograma y caja se complementan: el histograma enseña la forma (picos, colas, dos modos); la caja resume el centro y la dispersión central sin dibujar cada barra. Las siguientes diapositivas lo practican con tus datos.

HISTOGRAMA

Cómo leerlo

El eje horizontal es la variable, partida en intervalos consecutivos. El eje vertical es la frecuencia absoluta: cuántos datos caen en cada intervalo. Las barras van pegadas porque los intervalos se siguen sin hueco.

Un pico es el intervalo más frecuente. Una cola a la derecha son unos pocos valores altos; a la izquierda, unos pocos bajos. Dos picos separados suelen indicar dos subgrupos. Si los intervalos tuvieran anchuras distintas, la altura debería ser la densidad (frecuencia entre anchura) para que el área represente la frecuencia. Aquí todas las clases tienen la misma anchura.

Lab · conjunto A

n—

Media—

Clases—

GRÁFICOS

Diagrama de barras

Cada valor xᵢ tiene una barra de altura fᵢ. Entre barras hay hueco (datos no agrupados en intervalos).

Histograma = barras pegadas (intervalos). Barras = valores aislados. Sectores = proporciones hᵢ.

Simulación

Estadística bidimensional

Hasta ahora mirabas una variable. En la estadística bidimensional cada individuo aporta un par : horas y nota, altura y peso, gasto e ingresos. La pregunta ya no es solo «¿dónde está el centro?», sino «¿cómo se mueven X e Y juntas?».

Nube de puntos

Cada par es un punto en el plano. Si la nube sube de izquierda a derecha, valores altos de X tienden a ir con valores altos de Y (asociación positiva). Si baja, la asociación es negativa. Si es una nube redonda sin dirección, apenas hay tendencia lineal.

Covarianza

Mira productos : si X e Y se desvían del centro en el mismo sentido, la covarianza sale positiva; si en sentidos opuestos, negativa. Sus unidades son (unidades de X)×(unidades de Y), así que el número bruto cuesta interpretarlo solo.

Correlación de Pearson · r

Es la covarianza estandarizada: la divides entre las desviaciones típicas. Queda sin unidades y siempre entre −1 y 1. Por eso r es el índice que usas para hablar de fuerza y sentido de la asociación lineal.

Relación Cov ↔ r

Misma información, distinta escala: si conoces r y las σ, recuperas la covarianza. Si una variable se mide en cm o en m, Cov cambia; r no.

Qué mide r de verdad. Solo la fuerza de una tendencia lineal en estos datos. No dice «X causa Y», no mide curvas (una U perfecta puede dar r≈0) y no es la pendiente de la recta: una nube casi plana puede tener |r| alto si está muy alineada.

|r|≈0casi nula

0,2–0,4débil

0,4–0,7moderada

0,7–0,9fuerte

|r|≈1casi perfecta

Correlación ≠ causalidad. Un r alto describe la asociación observada; puede haber una tercera variable, o una relación no lineal que r no captura.

Rectas de regresión

La nube se resume con una recta para estimar una variable a partir de la otra, dentro del rango observado. Hay dos rectas distintas según qué quieres predecir.

Y sobre X · estimar y

Pendiente . Responde: «si X sube una unidad, ¿cuánto tiende a cambiar Y?». Es la recta que minimiza los errores verticales.

X sobre Y · estimar x

Pendiente . Es la otra proyección: minimiza los errores horizontales. No es la inversa de la anterior salvo si |r|=1.

1

Punto de cruce

Las dos rectas pasan por : el «centro» de la nube.

2

Ángulo entre ellas

Si |r| es bajo, las dos rectas se abren; si |r| se acerca a 1, se solapan. Producto de pendientes: .

3

r²

El coeficiente de determinación (entre 0 y 1) indica qué fracción de la variabilidad de Y «explica» la recta lineal en X, en sentido descriptivo.

En el laboratorio verás la dorada (Y|X) y la azul discontinua (X|Y). Úsalas solo para interpolar dentro del rango de los datos, no para extrapolar a lo loco.

Bidimensional · laboratorio

Cambia la nube y mira cómo se mueven Cov, r y el ángulo entre las dos rectas. Los números de la izquierda son los del ejemplo activo.

Cálculo

x̄—

ȳ—

σₓ—

σᵧ—

Cov—

r—

b_yx—

b_xy—

r²—

b_yx·b_xy—

Elige una nube para leer Cov y r.

La dorada estima Y a partir de X; la azul discontinua estima X a partir de Y.

Nube de puntos

pares (x, y) recta Y | X recta X | Y

Resumen de fórmulas

Media (con fᵢ)

Media (intervalos)

Varianza práctica

Frecuencia relativa

Rango / IQR

Covarianza

Correlación r

Y sobre X

X sobre Y

CASOS

COMPRUEBA

1 / 8 0 aciertos

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