1 · Historia

Antes de la fórmula, una historia

¿De dónde sale «Pitágoras»?

El teorema lleva el nombre de Pitágoras de Samos (hacia el siglo VI a. C.) y de su escuela. En realidad, la relación entre los lados de un triángulo rectángulo ya se usaba en Mesopotamia siglos antes: tabletas de arcilla muestran ternas enteras que cumplen la igualdad.

Lo que la tradición griega aportó —y Euclides fijó en los Elementos (libro I, proposición 47)— fue una demostración geométrica clara: no solo «funciona con números», sino que se entiende con áreas.

  • ~1800 a. C.Mesopotamia: ternas como 3-4-5 en cálculos prácticos.
  • ~530 a. C.Escuela pitagórica: el nombre que ha llegado hasta nosotros.
  • ~300 a. C.Euclides: demostración en los Elementos, todavía de libro.

Tres cuadrados sobre un triángulo rectángulo: la idea que unió oficio y geometría.

2 · La fórmula

a² + b² = c²

aCateto: un lado del ángulo de 90°.
bCateto: el otro lado del ángulo de 90°.
cHipotenusa: lado opuesto al ángulo recto.

3 · Hipótesis

Ámbito del teorema

En geometría euclidiana, el teorema de Pitágoras establece una relación entre los tres lados de un triángulo rectángulo: aquel que tiene un ángulo de 90°. Enunciado en términos de áreas, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos.

Por tanto, la igualdad a² + b² = c² presupone ese ángulo recto. Si el triángulo es acutángulo u obtusángulo, la relación correcta entre los lados es el teorema del coseno.

El ángulo recto es la hipótesis del teorema: sin él, a² + b² = c² no describe el triángulo.

4 · Laboratorio

Laboratorio

a² + b² = c²
9área a²
16área b²
25área c²

5 · Demostración

La misma caja, dos rellenos

Cuadrado de lado a + b

Misma caja, otro relleno

Empezamos con un cuadrado cuyo lado es a + b. En las dos cajas cabe exactamente lo mismo.

6 · En la obra

Cómo marcar un rincón a escuadra

El oficio, sin transportador

Una terna pitagórica es un trío de números enteros que cumplen a² + b² = c². La más conocida es 3, 4 y 5 (y sus múltiplos: 6-8-10, 9-12-15…).

El recíproco del teorema dice: si tres longitudes cumplen esa igualdad, el ángulo opuesto al lado mayor es recto. Por eso sirve para comprobar un rincón sin escuadra de plástico.

Paso a paso en la pared

  1. Marca 3 unidades en el suelo (o en un listón).
  2. Marca 4 unidades en la pared, desde el mismo rincón.
  3. Tensa una cuerda (o una cinta) entre las dos marcas: si mide exactamente 5, el ángulo es de 90°.

Prueba otras ternas abajo: el dibujo es el mismo truco con medidas distintas.

3² + 4² = 5²

3 en el suelo, 4 en la pared, 5 en la cuerda: el rincón cierra a 90°.

7 · Calcular

El lado que falta

La pared y el suelo son los catetos. La escalera es la hipotenusa: √(36 + 64) = 10.

8 · Comprueba

Test: Pitágoras

Doce preguntas. Elige con calma; después de cada una aparece la explicación.

1 / 120 aciertos

Lee el enunciado y elige una opción.